Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.3k kez görüntülendi

$\mathbb{R}^{[0,1]}:=\{f|f:[0,1]\longrightarrow \mathbb{R} \text{ sürekli}\}$ kümesinin kardinal sayısı (kardinalitesi) nedir?

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 2.3k kez görüntülendi

$f$  öyle ki  $ f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ sürekli

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$(a_i)_{i \in \mathbb{N}}$ dizisi $[0,1]$ aralığındaki rasyonel sayıların bir numaralandırması olmak üzere $G: \{f| f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \text{ sürekli bir fonksiyon}\} \longrightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ fonksiyonunu $f \mapsto (f(a_i))_{i \in \mathbb{N}}$ olarak tanımlayalım.

Rasyonel sayılar üzerinde (ya da gerçel sayılarda yoğun herhangi bir küme üzerinde) aynı değerleri alan iki sürekli fonksiyon eşit olmak zorunda olduğu için $G$ fonksiyonu birebirdir. Bu durumda istenilen kümenin kardinalitesi üstten $|\mathbb{R}|^{|\mathbb{N}|}=(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0 \cdot \aleph_0}=2^{\aleph_0}=|\mathbb{R}|$ ile (yani continuum ile) sınırlı. Öte yandan her $a \in \mathbb{R}$ gerçel sayısı için $a$ değerli sabit fonksiyon sürekli olduğu için istenilen kümenin kardinalitesi en az $2^{\aleph_0}$ olmalı. Demek ki verilen kümenin büyüklüğü tam olarak continuum.

(1.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Continuum hipotezinin doğru olduğunu varsayıyorsun. Değil mi?

Hayır. Sürekli fonksiyonların kardinalitesinin $2^{\aleph_0}$ olduğunu söyleyebilmek için CH'yi varsaymaya gerek yok. Eğer bu kardinalin $\aleph_1$ olduğunu söylemek istersek o zaman CH gerekli.

Anlaşıldı. Teşekkür ederim. Ben yanlış yorumlamışım.

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
1,999,698 kullanıcı