Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
892 kez görüntülendi

$(X,d)$ metrik uzay, $x_0\in X$ ve $A\subseteq X$ olmak üzere

$$(x_0\in D(A))(\epsilon>0)\Rightarrow |B(x_0,\epsilon)\cap A|\geq\aleph_0$$

önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Not: $D(A):=\{x|x, A\text{'nın yığılma noktası}\}$

Lisans Matematik kategorisinde (11.4k puan) tarafından  | 892 kez görüntülendi

Uzay sonlu olduğunda bu önermenin doğru olmayabileceği akla gelebilir. Ancak sonlu uzaylarda uzayın her altkümesinin türev kümesi (yani uzayın her altkümesinin yığılma noktalarının oluşturduğu küme) boş küme olacağından dolayı uzayın sonlu olamayacağına dikkat çekmek isterim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$x_0\in D(A),$ $\epsilon >0$ olsun ve $|B(x_0,\epsilon )\cap A|<\aleph_0$ olduğunu varsayalım.

$\left.\begin{array}{rrr} |B(x_0,\epsilon)\cap A|<\aleph_0\Rightarrow  (\exists x_1,x_2,\ldots ,x_n \in X)(B(x_0,\epsilon)\cap A=\{x_1,x_2,\ldots ,x_n\}) \\ \\ \delta:=\min \{d(x_0,x_1),d(x_0,x_2),\ldots ,d(x_0,x_n)\}  \end{array}\right\}\Rightarrow$

$\Rightarrow (B(x_0,\delta)\setminus\{x_0\})\cap A=\emptyset$

$\Rightarrow x_0\notin D(A)\Big{/} \text{Çelişki.}$

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
$(B(x_0,\delta)\setminus\{x_0\})\cap A=\emptyset$ olduğunu gösteriniz.
20,240 soru
21,759 cevap
73,401 yorum
2,069,230 kullanıcı