Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$\mathbb{Q}[x]$'in asal idealleri nelerdir?

Lisans Matematik kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 1.2k kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
$\mathbb{Q}$ cisim oldugu icin $\mathbb{Q}[X]$ esas ideal halkasidir ve asal idealler indirgenemez elemanlar tarafindan uretilir. Indirgenemez elemanlar da maksimal ideal tanimlarlar. Bu nedenle $\mathbb{Q}[X]$ halkasinin her asal $I$ ideali  $\mathbb{Q}$ cisminin cebirsel bir genislemesini verir: $$\mathbb{Q}[X]/I\hookrightarrow\overline{\mathbb{Q}}$$ Eger iki asal ideal ayni degilse tanimladiklari genisleme de ayni olmayacaktir. Burada suna dikkat etmek gerek. Yukaridaki gomme iyi tanimli degil, bir secime bagli. $I$ idealini ureten polinomun her koku icin boyle bir gomme var. Bu yuzden yukaridaki cismi, secimden bagimsiz hale getirmek icin $I$ idelini ureten polinomun, $p(X)$ diyelim, parcalanis cismiyle degistirelim. Boylece her asal ideal icin bir genisleme bulduk. Ya da baska bir deyisle, birbiriyle eslenik bir eleman kumesi: $$\{\text{$p(X)$ polinomunun kokleri}\}$$ Yani asal idealleri $\overline{\mathbb{Q}}$ cisminin "noktalariyla" esleyebiliyoruz. Tam olarak noktalarla degil de, birbiriyle eslenik olan noktalar kumeleriyle. O halde $$Spec(\mathbb{Q}[X])=\overline{\mathbb{Q}}/Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$$ Hatta ayni mantik reel sayilar icin de isleyecektir. Reel sayilarin cebirsel kapanisi karmasik sayilardir ve bu genislemenin Galois grubu iki elemanladir: Birim otomorfizma ve kompleks eslenik operasyonu. Yukaridaki mantikla eslenik elemanlari birbirine yapistirirsak reel sayilar uzerine asal idealleri karakterize etmis oluruz.
(3.7k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Belirli bir sekilde nasil yazilir hicbir fikrim yok.

Bu kume numaralandirilamaz herhalde?

Numaralandirilabilir cunku cebirsel elemanlar sayilabilir. Cunku polinomlar sayilabilir. Hatta sonsuz bir cismin cebirsel kapanisiyla kendisi ayni kardinalitededir savini ispatlamak zor degil. Hatta bu sav kendinden buyuk esit ilk limit ordinale esittir diyerek sonlu cisimleri kapsayacak hale getirilebilir herhalde.

$[0,1]$ kapali araligindan rastgele secilen bir elemanin askin olma olasiligi nedir.

evet, haklisin.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şu bağlantıyı incelemek yeterli: Spec($\mathbb{R}[X]$) kümesi nelerden oluşur?

(1.1k puan) tarafından 

Bence değil. Hatta diğeri için bu soru incelenilebilir.

20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,923 kullanıcı