Üstçokkatlılar kuramına giriş

Question

1961'de 'İkinci kuantumlamanın temsillerindeki kanonik işlemci dönüşümleri' Dokl. Akad. Nauk SSSR. 137 (1961), 311-314 adlı makalesinde F. A. Berezin bozon ve fermiyon alanlarını birlikte betimlemenin doğal bir yolunu bulur (ilgili olarak ikinci kuantumlama sorusundaki doğal ters değişim bağıntılarını inceleyin). Sonrasında bunun analizdeki karşılığının; göndermelerin işlevinin Grassmann cebirinin elemanlarının tarafından sağlanması demek olduğunu  farketmiştir. Araştırmaların devamının gelmesiyle birden matematiğin fizik kökenli "üstmatematik" (üst=lat. super) denilen yeni bir alanı ortaya çıkıverir.

Not: Aşağıdaki tüm uzay ve cebirler $C=\mathbb{R}$ veya $C=\mathbb{C}$ cismi üzerinde tanımlıdır.

Tanım (Üstuzay):  $C$ cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzayı $M$'ye, eğer $M=M_{\bar{0}}\oplus M_{\bar{1}}$  ayrışımı yapılabilir ve $\forall i,j\in \mathbb{Z}_2: M_iM_j\subset M_{i+j}$ ise, üstuzay denir. $M_{\bar{0}}$ ve $M_{\bar{1}}$'nin elemanlarına sırasıyla, $M$'nin türdeş çift ve türdeş tek elemanları denir. $i\in \mathbb{Z}_2$, $v\in M_i$ için $e(v)=i$ yazalım ve o zaman buradaki $e(v)$ $v$'nin eşliği (ingl. parity) diye adlandırılır. Eğer bir $N\subset M$  alt uzayı $N=(N\cap M_{\bar{0}})\oplus (N\cap M_{\bar{1}})$'i sağlıyorsa, $N$'ye alt üstuzay denir.

Soru 1: Eğer $M$ ve $N$ bir üstuzay oluşturuyorlarsa, $M\oplus N$, $M\otimes N$ ve $Hom(M,N)$'nin her birinden nasıl üstuzay yapabiliriz?

Tanım (Üstcebir): $A$  bir üstuzay olsun. Eğer $A$ özdeşlik elemanını içeren bir birleşmeli cebir ve de $A\times A\rightarrow A$  göndermesi bir çift 'çifte doğrusal dönüşüm' ise; $A$'ya üstcebir denir. Ayrıca türdeş $a,b\in A$ için $ab=(-1)^{e(a)e(b)}ba$ geçerli ise $A$'ya değişimli denir.

Not: $(-1)^{\bar{0}}=1$ ve $(-1)^{\bar{1}}=-1$ olduğunu kabul edelim.

Tanım (Dış cebir): Bir $C$-modülü $\xi=(\xi_1,...,\xi_n)$'nin $i,j=1,...,n:$ $\xi_i\xi_j=-\xi_j\xi_i$ bağıntılı elemanları tarafından  gerilen cebire n sayılı değişkendeki dış cebiri (diğer adıyla Grassmann cebiri) denir ve $\Lambda(n), \Lambda[\xi]$ ya da $C(\xi)$ ile gösterilir.

Soru 2: Her $f\in \Lambda(n)$ biricik olarak $f_\nu\in C$, $\nu=(\nu_1,...,\nu_n)\in \{0,1\}^{n}$ ve -

$\xi^{\nu}=\xi^{\nu_1}_1...\xi^{\nu_n}_n$ için $f=\displaystyle \sum f_\nu \xi^{\nu}$ ile yazılabilir (neden?). Daha da açarsak $f_{i_1...i_j}\in C$ için $f=\displaystyle\sum_{0\leq j\leq n}\ \sum_{1\leq i_1< ...<i_j\leq n} f_{i_1...i_j}\xi_{i_1}...\xi_{i_j}$.

$\xi_i$'lere $\Lambda(n)$'yi üstcebir yapacak bir şart getirebilirmisiniz?

Comments

Biraz kafam karisti benim. $M$ bir $\mathbb{R}$ ya da bir $\mathbb{C}$ vektor uzayi degil mi?

$A$'da bir $C$-cebiri ama uzerinde $\mathbb{Z}_2$ grading'i var? $A_1$'den bir elemanla $A_1$'den bir elemani carpinca $A_0$'a dusuyorum, dogru mudur?  Bunun tanimin neresinde oldugunu goremiyorum ben. Ama bunu istiyor olmamiz lazim degil mi?

Ayrica, degismeli ustcebir taniminda $p(a), p(b)$ derken, $e(a), e(b)$ demek istiyoruz?

Bir de Grassmann cebirinin tanimindaki Turkce'yi anlamadim :) $\xi_i$'ler tarafindan serbestce gerilmis cebiri verilen bagintiya boluyoruz, bu bildigimiz "exterior algebra" degil mi? Ha tamam "dis cebir" parantez icindeymis, gormemisim.

---

Evet $M$ bir $C$-uzayı, A da bir $\mathbb{Z}_2$ gradeli $C$-cebiri. Tanımdan dolayı $A_\bar{1}A_\bar{1} \subset A_{\bar{1}+\bar{1}}=A_\bar{0}$

Evet düzeltim ve evet. Yaptığın yorumlar için teşekkür ederim.

---

Rica ederim! Ben sorular icin tesekkur ederim.

---

Ben yine rahatsiz edecegim!

Ilk tanimda $M = M_0 \oplus M_1$ ayrisiminin kurali ne? Boyle bakinca boyutu her vektor uzayi $M = 0 + M$ olarak ayristirilabilir gibi duruyor. Hadi tamam, sifirdan farkli olsunlar. Ama o zamanda boyutu 1'den buyuk olan butun uzaylari ayristirabilirim sonucta. Ben burada $\mathbb{Z}_2$'nin etkisini anlayamadim?

---

Tamamen haklısın, konunun yabancısı olarak makalede açıkça yazılmamış bir özelliği(*) atlayıp aşırı saçmalamışım.

$\mathbb{Z}_2$'nin etkisi hem direkt toplamı yapılan alt vektör uzaylarının damgasını belirlemesi hem de (*) (yani $\bar{0},\bar{1}$ yazmamızın toplam açısından bir anlamı var), ha bi de tek çift diye adlandırmamız yeterince açık olsun diye de. 

Biçimsel olarak $M$ herhangi bir şekilde; $M_{\bar{0}}\oplus M_{\bar{1}}$ olarak ayrıştırılabiliyorsa ve $\forall i,j\in \mathbb{Z}_2: M_iM_j\subset M_{i+j}$(*)!! ( $M$ $\mathbb{Z}_2$-aşamalı demenin anlamı) ise bir üstuzay (ama $MM\nsubseteq 0$ yani sıfır vektör uzayı ayrışımdaki altkümelerden biri olamaz).

-------------------------------------------------------------------------------

Bambaşka bir cevap arayışı: Üstuzayın tanımı çoğunlukla yukarıda olduğu gibi bir $\mathbb{Z}_2$ aşamalı kümesi ama, aynı kapıya çıkan şöyle daha genel bir tanımı daha varmış:

Tanım (üstuzay, daha genel): Eğer her $\Lambda$ dış cebiri ile bir $\mathcal{M}_{\Lambda}$ kümesi (=:üstuzay $\mathcal{M}$'nin $\Lambda$ noktaları kümesi) ilişkilendirilirse ve her -$\Lambda$ dış cebirinden $\Lambda '$ dış cebirine- eşlik koruyan benzeryapı dönüşümü $\rho$ ile ilişkilendirilen hem de (**) şartını sağlayan bir $\tilde{\rho}:\mathcal{M}_\Lambda\rightarrow \mathcal{M}_\Lambda'$ göndermesi varsa, $\mathcal{M}$ bir üstuzaydır:

(**) Benzeryapı dönüşümlerinin çarpımı $\rho_1\rho_2$; $\tilde{\rho}_1\tilde{\rho_2}$ göndermelerinin değerine denktir.

Not: Bu tanım çok genel olduğundan $\mathcal{M}_\Lambda$'lerin belli ek özellikleri olmasını istemek (bir grup oluşturmaları gibi) ve $\tilde{\rho}$'lara bazı kısıtlayıcı şartlar (benzeryapı dönüşümü olmaları gibi) getirmek gerekiyor.

Genel tanım için örnek=sorudaki tanımın ardında yatan düşünce: Şimdi $M$ bir $\mathbb{Z}_2$ aşamalı vektör uzayı olsun, yani $M=M_{\bar{0}}\oplus M_{\bar{1}}$, burada $M_{\bar{0}}$ çift, $M_{\bar{1}}$ tek alt uzay diye adlandırılır. O zaman $\Lambda$ noktaları kümesi $\mathcal{M}_\Lambda$'yi; $f_i\in M_{\bar{0}}$, $g_j\in M_{\bar{1}}$ ve de $\Lambda$ cebirinin $a_i$ çift, $b_j$ tek elemanları için biçimsel doğrusal bileşimler $\sum a_i f_i+\sum b_j g_j$ olarak tanımlayalım. ($a'+a'')m=a'm+a''m, a(m'+m'')=am'+am'', a,a',a''\in\Lambda, m,m',m''\in M$ olduğunu varsayıyoruz). 

$\tilde{\rho}$ göndermesi $\sum a_i f_i+\sum b_j g_j$ noktasını $\sum \rho(a_i) f_i+\sum \rho(b_j) g_j$'ya gönderir. Böylece $\mathcal{M}_\Lambda$ kümeleri ve $\tilde{\rho}$ göndermeleri $\mathcal{M}$ üstuzayını tanımlar, ki bu da $\mathbb{Z}_2$ aşamalı vektör uzayı $M$'ye tekabül eder.(Yani ortada görünmeyen Grassmann cebiri, $\rho$ ve $\tilde{\rho}$ üstuzayı belirliyor).

Answer 1

$\def\Hom{\mathrm{Hom}}$

USTUZAYLAR

Soru ilk haliyle dogru iken benim yorumlarim yuzunden yanlis oldu. Su anki haliyle $M$ uzerinde bir cebir yapisi oldugunu da kabul ediyoruz: $M_i M_j$ dedgimiz an orada carpma var demis oluyoruz. Oysa sadece bir vektoruzayi olarak gormek istiyoruz. biz $M$'yi. 

Tanim: $M$ bir vektoruzayi olsun. Eger $M$'yi $M = M_0 \oplus M_1$ seklinde ayristirabiliyorsak $M$'ye ustuzay diyoruz. 

Benim yorumlarda sordugum soru: Burada "$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$'nin etkisi ne?". Buna iki cevap verilebilir: 

1. Yok. (Bu cevap dogru sayilabilir ama Ozgur'u tatmin etmedi.)

2. $C$'yi $C \oplus 0$ ile ozdeslestir ve $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-dereceli halkalar kategorisinde gor (dereceli halkayi asamali halkaya tercih ettim (graded ring)). $M$'yi de $C$ uzerine $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-dereceli modul olarak gor. Bu beni tatmin ediyor cunku ustuzay kategorisinde morfizmalarin derece koruyan vektor uzayi morfizmalari olmasi gerektigini anliyorum. Yani $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ etkisi var! Genel olarak dereceli vektor uzayinin boyle tanimlandigi bir yer gormedim ama boyle algilanmasinin daha dogru oldugunu dusunuyorum. Dereceli moduller, dereceli vektoruzaylarindan daha once tanimlanmali.

Daha guzel tanim: $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-dereceli vektoruzaylarina ustuzay diyoruz. (Bu tanim yukaridaki tanimla ayni, ama bu etkinin varligi onemli, o yuzden soylenmeli diye dusunuyorum.)

Direkt Toplamlar: $M$ ve $N$ ustuzaylar ise, $$M \oplus N = (M_0 \oplus N_0) \oplus (M_1 \oplus N_1)$$ ayrisimini kullanarak  $$(M \oplus N)_0 = M_0 \oplus N_0 \\ (M \oplus N)_1 = M_1 \oplus N_1$$ tanimlarini yapabiliriz.

Tensor Carpimi: $M$ ve $N$ altuzaylar olsun. Tensor carpiminin direkt toplamla iliskisini kullanarak su esitligi elde ediyoruz:

$$M \otimes N = (M_0 \oplus M_1) \otimes (N_0 \oplus N_1)\\ = (M_0 \otimes N_0) \oplus(M_0 \otimes N_1) \oplus (M_1 \otimes N_0) \oplus (M_1 \otimes N_1)$$ Bu $4$ vektoruzayindan ikisini sifirinci derecede gorecegiz, diger ikisini de birinci dereceden gorecegiz. $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ etkisinin uzerimizdeki etkisini hissederek (kelimi oyunu?) $$(M \otimes N)_0 = (M_0 \otimes N_0) \oplus (M_1 \otimes N_1) \\ (M \otimes N)_1 = (M_0 \otimes N_1) \oplus (M_1 \otimes N_0)$$ tanimini yapiyoruz ve bu tanim tensor carpimina bir ustuzay yapisi veriyor.

$\Hom$-kumeleri: Dereceli bir uzaydan bahsediyorsak (bu uzay halka olsun, vektoruzayi olsun, modul olsun, cebir olsun), anlamli morfizmalar da dereceli yapiya saygi gosteren morfizmalar olmali. 

$M$ ve $N$ ustuzay olsun. $f: M \to N$ bir vektoruzayi morfizmasi olsun. Eger her $i$ icin, $$f(M_i) \subseteq N_i$$ saglaniyorsa $f$'ye derece koruyan morfizma diyelim. Eger $$f(M_i) \subseteq N_{i + 1}$$ oluyorsa $f$'ye derece kaydiran morfizma diyelim. (Burada mod 2'de dusunuyoruz tabii ki.). Derece koruyan morfizmalarin kumesini $\Hom(M,N)$ ile, derece kaydiran morfizmalarin kumesini de $\Hom_{+1}(M,N)$ ile gosterecek olursak, elimizde ilgi cekici iki tane Hom-kumesi var: Dereceyi koruyan morfizmalar  $$\Hom(M, N)$$ ve dereceye saygi gosteren/dereceli yapinin varligindan haberdar olan morfizmalar:  $$HOM(M,N):= \Hom(M,N) \oplus \Hom_{+1}(M,N)$$ Goruldugu gibi bu ikinci uzayda bir ustuzay yapisi var. Bu da fizikseverin ilk sorusunu cevapliyor.

Answer 2

USTCEBIRLER

Burada ustcebirin taniminda yine benim yorumlarim yuzunden bir yanlislik oldu. Ustuzay taniminda verilen $M_i M_{j} \subset M_{i+j}$ esitligi ustcebirde yer almali.

Tanim: $A$ bir ustuzay olsun. Ve uzerinde fiziksever'in tanimindaki gibi bir cifte dogrusal fonksiyon ya da baska bir deyisle bir cebir yapisi olsun. Eger $A_i A_j \subseteq A_{i+j}$ ozelligi saglaniyorsa, $A$'ya ustcebir diyoruz. 

Acalim: Elimizde bir vektoruzayi var. Bu vektoruzayinin cift ve tek elemanlari var (benim yukaridaki cevabimdaki deyimimle sifirinci dereceden ve birinci dereceden). Ustelik bu vektoruzayinin elemanlarini vektoruzayi yapisiyla da uyumlu olacak bir sekilde carpabiliyoruz. Eger bu carpim "tek carpi tek = cift", "cift carpi tek = tek", "tek carpi cift = tek" ve "cift carpi cift = cift" kuralini ($A_i A_j \subseteq A_{i+j}$) sagliyorsa, $A$'ya ustcebir diyoruz.

Ustcebirler kategorisinde de direkt toplam, tensor carpim ve morfizmalari ustuzaylar kategorisindeki gibi tanimliyoruz.

$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$'in etkisini de tabii ki unutmuyoruz. Bu etki kendini ustuzaylarda oldugu gibi ustcebirlerde de gosteriyor. Biz bu etkiyi ustcebir ornekleri bulmak icin kullanalim:

Ana ornek: $\mathbb{Z}$-dereceli ya da $\mathbb{N}$-dereceli her cebiri, ustcebir olarak gorebiliriz. Yapmamiz gereken tek sey, dereceleri modulo $2$ okumak. 

Ornegin, $C[x]$ polinom cebirini alalim. Eger bir polinomun derecesi tek ise $C[x]_1$'in elemani olacak, cift ise $C[x]_0$'in elemani olacak. Birkac paragraf ustte yer alan "cift carpi cift = cift" vs. kurallarini kontrol etmek cok kolay. Cunku polinomlarin carpiminin derecesi polinomlarin derecelerinin toplamina esit. Bunu modulo 2 okudugumuzda ustcebir yapisi elde ediyoruz.

Bir yerine bircok degiskenli polinom cebiri alalim: $C[x_0, \ldots, x_n]$. Bu da yine $\mathbb{N}$-dereceli bir cebir. Ornegin, $x_1^2x_2^3x_5$'in derecesi $6$. Genel olarak $x_0^{i_0}x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}$'in derecesi $i_0 + \ldots + i_n$.  Bu dereceleri modulo 2 okudugumuzda yine tek ve cift elemanlar elde ediyoruz.

Aslina bakacak olursak, bir ustcebir belirlemek icin butun elemanlari teker teker incelememize gerek yok. Cebirin ureteclerinin hangi derecede bulundugunu belirlememiz yeterli. Ornegin, polinom cebirleri icin $x_i$'leri birinci dereceye koydugumuzda her sey kendiliginden oluyor, ($1$'in sifirinci derecede olmasi gerektigi de.). Discebir icin de tek yapmamiz gereken butun uretecleri birinci dereceye koymamiz. Yani, $\xi_i$'leri birinci dereceden eleman (ya da tek eleman) ilan edersek, carpmayi kullanip bunu butun cebire yayabilir ve $\Lambda(n)$'yi tek dereceli ve cift dereceli elemanlar olmak uzere iki parcaya ayirabiliriz. Bu da fiziksever'in ikinci sorusunu cevaplar.