K bir cisim K(X) de K üzerine tek değişkenli rasyonel fonksiyonlar cismi olsun. f bu cisim içerisinde herhangi bir polinom olsun. Başka bir g fonksiyonu için vf(g) değerini şu şekilde tanımlayalım: f'nin g'yi bölen en yüksek gücü fn ise vf(g)=n olsun. Bunu bütün rasyonel fonksiyonlara vf(gh)=vf(g)−vf(h) biçiminde genişletebiliriz.
Soru 1. vf'in K[X] üzerinde bir değerlendirme tanımladığını ispatlayın.
Soru 2. vf'in K(X) yukarıdaki gibi genişletilmesinin iyi tanımlı olduğunu gösterin.
Soru 3. φ⟼|φ|f:=2−vf(φ) fonksiyonunun K(X) üzerinde bir mutlak değer tanımladığını gösterin.
Soru 4. Bu mutlak değerin Arşimet tipi olmadığını gösterin.
Soru 5. K üzerinde 1 değeri alan bütün mutlak değerlerin düzgün seçilmiş bir f için |⋅|f biçiminde olduğunu gösterin.
Soru 6. Soru 5'teki hatayı bulun. Bir tane mutlak değeri yakalayamazsınız aslında. İpucu olarak Rasyonel sayılar için Ostrovski'yi düşünebilirsiniz. Bu soruda verilmiş mutlak değerler rasyonel sayılardaki p-sel mutlak değerlere denk gelir. Ama biliyoruz ki p-sel olmayan bir metrik de var rasyonel sayılarda. Hepsi p-sel metriktir desek bir metriği (tabii modulo denklik) kaçırırdık.