$a\mid(\pm1)\rightarrow a=\pm1$ olduğunu gösteriniz.

Question

a/(±1)⇒a=±1 olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$a\mid 1$ olsun. Bu durumda $1=at$ olacak şekilde $t\in \Bbb{Z}$ vardır. Buradan $a=t=1$ veya $a=t=-1$. Benzer şekilde $a\mid -1$ içinde $a=1$ veya $a=-1$ elde edilir.

Comments

$a=t=1$ veya $a=t=-1$ olmali sonucuna nasil ulasiyoruz?

---

$a$ nın tamsayı olduğunu kabul ettim. Soru da belirtilmemiş ancak. 

---

Tam sayi iken nasil elde ediyoruz? Sanki sorunun cikarimini cevapta kullaniyormusuz gibi geldi bana.

---

Tamsayılarda çarpımsal tersi olan elemanlar $1$ ve $-1$. Yani bunun ispatı nasıl yapılır mı? (Sorunuz)

---

Yani soru zaten bizden bunu ispatlamamizi istiyor. $1$'in bolenleri (yani carpimsal tersi olan elemanlar) $\pm1$ olmali. Bunu kullanmamamiz gerek bence, daha temelden almak gerekir. Daha temel ne demek bilmiyorum ama daha temel.

---

Böler kavramını anlatırken ben böyle çözüyorum. Ancak tamsayı inşasından yararlanarak tamsayılarda çarpımsal tersi olan elemanları belirlerken denklik sınıfları yardımıyla buluyoruz tabii. 

---

Ne gerek var? $t$ tamsayı olduğundan $t=\frac 1a$ den $a$ tamsayı olmak zorundadır.Bu da $a=\mp1$ verir.

---

$\frac1a$ tamsayi olmasi icin $a$'nin $1$'i bolmesi gerekir. Eger $a\mid1$ ise $\cdots$ (kullanilan zaten ispatlamamiz gereken).

Answer 2

$a>0$ olsun. $1 \in \mathbb Z^{>0}$ minumum eleman ve $a$ bu kumenin elemani. Eger $a\mid1$'i boluyorsa $a \leq 1$ olmali. Yani $a=1$ olmali. 

Ayrica $u<0$ ise $|u|>0$.

Burda kullanilanlar: $1$ pozitif sayilar icin minimal eleman ve pozitif sayilarda $a\mid b$ ise $a \leq b$ olmali. 

Bunlari kullanmaya hakkimiz var mi? Onemli olan bu.

Answer 3

$a\mid \pm1$   ve  $\pm1 \mid a$  ise  $a=\pm1$

Comments

"$a\mid b$ ve $b \mid a$ ise $a=\pm b$". Eger bu cumleyi ispatlamak istersek soruyu ispatlamamiz gerekir ilk once. Benim ispatimda iceriyor en azindan. Eger icermeyen bir ispat varsa gormek isterim.

---

$a \neq \pm1$ olsun.

$a\mid 1$  ise $1=a.k$  $(k\in \mathbb Z)$

$1=a.k$  ise  $k=\dfrac{1}{a}$  $(a\neq 0)$

$a\neq \pm1$  ise  $k\notin \mathbb Z$  olur.

---

$\frac 1a \in \mathbb Z$ olmasi icin $a \mid 1$ olmasi lazim, $a \mid 1$ ise $a= \pm1$. Yani ispatlanmasi istenilen kullaniliyor su an.

---

$a\mid 1$ olduğunu varsayıyorum.

---

$a\mid 1$ ise $\frac 1a$ zaten $\mathbb Z$'dedir. Neden $\pm1$ olsun ki?