Trigonometrik eşitlik

Question

$1 + z + z^2 +...+ z^n = \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z}, z \neq 1$
eşitliğini kullanarak
$1 + cosx + cos(2x) +...+ cos(nx) = \frac{1}{2} + \frac{sin ( \frac{(2n+1)x}{2})}{2sin(\frac{x}{2})} , 0 < x < 2 \pi$
eşitliğini elde ediniz.

Answer 1

$$1+e^{ix}+e^{2ix}+e^{3ix}+\ldots +e^{nix}=\dfrac{1-e^{(n+1)ix}}{1-e^{ix}}$$

$$\Rightarrow$$

$$1+(\cos x+i\sin x)+(\cos 2x+i\sin 2x)+\ldots +(\cos nx+\sin nx)=\frac{1-\cos (n+1)x-i\sin (n+1)x}{1-\cos x-i\sin x}$$

$$\Rightarrow$$

$$(1+\cos x+\cos 2x+\ldots +\cos nx)+i(\sin x+\sin 2x+\ldots +\sin nx)=\frac{1-\cos (n+1)x-i\sin (n+1)x}{1-\cos x-i\sin x}$$

Eşitliğin sağ tarafını $a+ib$ şeklinde yazıp gerçel kısımları eşitlediğinizde aradığınız eşitliğe ulaşacaksınız.