Simetrik grupta bir elemanın merkezleyenleri

Question

$x\in S_n$ permütasyonu için $S(x)$ ile $x$'in yerini değiştirdiği elemanları gösterelim. Eğer $y$ permütasyonu $x$'in merkezleyenlerinden birisiyse $y$'nin ayrık döngüsel gösteriminde döngülerin yerlerini değiştirdikleri elemanların kümeleri bakımından $S(x)$'in alt kümesi olanlar ve $S(x)$ ile kesişmeyenler olarak ikiye ayrıldığını gösterin. Bunu kullanarak da $$C_{S_n}(x)$$ grubunu iki altgrubunun direk toplamı olarak yazın.

Edit: İlk kısmı biraz daha anlaşılır yazayım. $(i_1\cdots i_k)$ döngüsü $y$'nin ayrık döngülsel gösterimindeki döngülerden birisi olsun. Eğer $xy=yx$ eşitliği sağlanıyorsa $x$ ya bütün $i_j$'lerin yerini değiştiriyordur ya da hiçbirinin yerini değiştirmiyordur.