Question

$\int_{0}^{2\pi} (\cos\theta)^{2n} d\theta=? $(Karmaşık Analiz)

Comments

Şu belki işe yarayabilir.

$$I_n=\int_{0}^{2\pi} \cos ^{2n} \theta \,\ d\theta=\int_{0}^{2\pi} \cos ^{2n-2} \theta \cos ^2 \theta \,\ d\theta=\int_{0}^{2\pi} \cos ^{2n-2} \theta \,\ (1- \sin ^2 \theta ) \,\ d\theta$$

$$=$$

$$I_n=\int_{0}^{2\pi} \cos ^{2n-2} d\theta -\int_{0}^{2\pi}\cos ^{2n-2} \theta \,\ \sin ^2 \theta  \,\ d\theta$$

$$=$$

$$I_n=I_{n-2} -\int_{0}^{2\pi}\cos ^{2n-2} \theta \,\ \sin ^2 \theta  \,\ d\theta$$

Answer 1

İntegrali şöyle yazalım :

$$f(x)=\cos^{2n}(x)=\frac{1}{2^{2n}}\big(e^{ix}+e^{-ix}\big)^{2n}$$

$$\int_0^{2\pi}\,\cos^{2n}(x)\,dx=\frac{1}{2^{2n}}\int_0^{2\pi}\,\big(e^{ix}+e^{-ix}\big)^{2n}\,dx$$

$e^{ix}=z$ olacak şekilde değişken değiştirirsek :

$$\frac{1}{2^{2n}i}\oint_{|z|=1}\big(z+z^{-1}\big)^{2n}\frac{1}{z}\:dz$$

Burada $z=0$ noktası $(2n+1).$ dereceden kutup.Bu kutup $|z|=1$ eğrisinin içinde olduğundan kalıntı teoremi uygulanabilir. Kalıntı teoremini uygularsak :

$$\oint_{|z|=1}\big(z+z^{-1}\big)^{2n}\frac{1}{z}\:dz=2i\pi\,Res(f;0)=\frac{2i\pi}{(2n)!}\lim\limits_{z\to0}\frac{d^{2n}}{d{z}^{2n}}\big(z^2+1\big)^{2n}$$

Limiti bulalım :

$$\frac{2i\pi}{(2n)!}\lim\limits_{z\to0}\frac{d^{2n}}{d{z}^{2n}}\big(z^2+1\big)^{2n}=\frac{2i\pi(2n)!}{(n!)^2}$$

Buradan integrali kolayca bulabiliriz :

$$\frac{1}{2^{2n}i}\frac{2i\pi(2n)!}{(n!)^2}=\frac{\pi(2n)!}{(n!)^2\,2^{2n-1}}$$

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^{2\pi}\,\cos^{2n}(x)\,dx=\frac{1}{2^{2n}i}\oint_{|z|=1}\big(z+z^{-1}\big)^{2n}\frac{1}{z}\:dz=\frac{\pi(2n)!}{(n!)^2\,2^{2n-1}}}}$$

Comments

Ayrıca şunu da belirtmek gerekir : $n\in\mathbb{Z}^+$

---

Limit hesabını nasıl yaptınız?

---

Türevi bulmak beni biraz zorladı. İlk başta $(z^2+1)^{2n}$ ifadesini binom açılımı ile yazıp türevi öyle almaya çalıştım , ama bir sonuca ulaşamadım. Son çare olarak da $n$ değerinin $1,2,3,4$ olduğu durumları inceleyerek bir formül çıkarttım. Burada $z$ nin $0$'a gitmesi önemli , diğer türlü hesaplanması zorlaşıyor.Bulduğum formül şöyle :

$$\lim\limits_{z\to0}\frac{d^{2n}}{d{z}^{2n}}\big(z^2+1\big)^{2n}=2^{2n}\,\big[(2n-1)!!\big]^2$$

---

Formülü genelgeçer kabul edebilir miyiz?

Birde daha pratik bir çözüm var mıdır acaba?

---

Formül doğru (olması lazım) , WolframAlpha 'dan kontrol ettim.Daha pratik bir çözüm bulursam yazarım.

---

$(z^2+1)^{2n}$ in binom  açılımında $z^{2n}$  terimin katsayısını bulup $(2n)!$ ile çarparak bulunabilir.

$$\binom{2n}{n}\cdot (2n)!=2^{2n}\left((2n-1)!!\right)^2$$