$x$ tam sayı, $A=|x-5|-|x-15|$ ise, $A$ sayısının alabileceği doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Question

X tam sayi

A=Ix-5I-Ix-15I ise A sayisinin alabilecegi doğal sayi değerlerinin toplamı kactir?

Answer 1

Ix-5I-Ix-15I ifadesi 

x in 10 değeri için

I10-5I-I10-15I=0

x=11 için

6-4=2

x=12 için

7-3=4

x=13 için

8-2=6

x=14 için 

9-1=8

x=15 için

10-0=10

bundan sona x=16 için hep 10 çıkıyor

böylece 0+2+4+6+8+10=30 yapar A nın alacağı değerler toplamı

Comments

Bu cevap maalesef doğru değil.

Answer 2

Mutlak değerin içini sıfırlayan değerler,yani kökler: $x=5,x=15$ olup $A$'nın alacağı değerleri 

$x<5, 5\leq x<15, 15\leq x$ durumları için ayrı ayrı incelemeliyiz.

a) $x<5$ ise $A=-(x-5)-(-(x-15))=-x+5+x-15=-10$ bulunur. Yani $x<5$ tamsayıları için $A$ sayısı hep aynı $-10$ değerini alır.

b)$-5\leq x <15$ ise $A=x-5-(-(x-15))=x-5+x-15=2x-20$ olur. Bu fonksiyonun [5,15) aralığında süreki olduğunu ve y-eksenini (10,0) noktada kestiğini düşünürsek, $A$ sayısı $[5,15 )$  aralığındaki $x=5,6,7,8,9,10,11,12,13,14$  tamsayılarda sırası ile  {-10,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8} değerlerini alacaktır.

c) $15\leq x$   ise $A=x-5-(x-15)=10$ olur. Yani $A$ sayısı $x\geq15$ olan her $x$ tamsayısnda hep $10$ değerini alacaktır. 

$x\leq-15$ ile $x\geq15$ olan tamsayı $A$ değerleri birbirini götürecektir. Aranan $A$ değerleri toplamı ,$[-14,14]$  aralığındaki $A$ değerleri toplamıdır. Bu da 

$20.(-10)+(-8)+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6+8=-200$ dür.