n. derece denklm

Question

$x^{n}-x^{n-1}+...+(1)^{n}=0$ denkleminin kokleri 

$x_1,...,x_n$ olmqk uzere $(1+x_1)...(1+x_n)$=?

Comments

Soruda nasıl bir ilerleyiş var anlayamadım.bir kaç terim daha yazabilir misiniz?

---

Sanırım şöyle olacak :

$$x^n-x^{n-1}+x^{n-2}-x^{n-3}+\cdots+x^{n-n}=\sum_{k=0}^n\:(-1)^k\,x^{n-k}$$

Answer 1

$f(x-1)$ fonksiyonun (karmasik) kokleri $f(x)$ fonksiyonunun koklerinin $1$ fazlasi olur. 

Soru: Bertan'in yazdigi fonksiyona $f(x)$ diyelim. O zaman $f(x-1)$ polinomunun sabit terimi kactir? 

Not: Verilen carpim, $f(x-1)$  fonksiyonunun kokler carpimi (norm), bu da sabit terim demek.

Comments

Eklemeye gerek var mi bilmiyorum da: Sabit terimi bulmak icin $x=0$ koymamiz yeterli. 

---

Devamını getireyim :

$f(x)$ fonksiyonunun kökleri  $x_1,x_2,x_3\cdots$  ve $f(x-1)$ fonksiyonunun kökleri $y_1,y_2,y_3\cdots$  olmak üzere bizden istenen :

$$(x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)\cdots=y_1y_2y_3\cdots$$
Kökler çarpımı için aşağıdaki eşitliği kullanalım :

$$\boxed{P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0\\\:\\x_1x_2x_3\cdots=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}}$$

Buradan $y_1y_2y_3\cdots=a_0$ olarak buluruz.

$f(x-1)$ fonksiyonunun sabit terimini ($a_0$) bulmak için $x$ yerine $0$ verelim.

$$f(x-1)=\sum_{k=0}^n\:(-1)^k\,(x-1)^{n-k}\to\sum_{k=0}^n\:(-1)^{n}$$

Buradan da cevabın $n+1$ olduğunu bulabiliriz.

Not: $n$ çift tam sayı