$e^\pi-\pi^e<1$

Question

$e^\pi-\pi^e$ ifadesininin $1$ sayisindan kucuk oldugunu hesap makinasi kullanmadan giosteriniz.

Comments

Bu soru daha once soruldu sanki $e^{\pi}$ mi buyuk \pi^{e}$ mi bu cevaplandi ise a<b Ise a-b<0<1 dir dogal olarak cevaplanmis olur

---

O soruyu hatirlamiyorum. Fakat cevap pozitif (link), negatif degil. Bu nedenle dogal olarak cevaplamiyor.

---

Reel üs almayı nasıl tanımlıyorsunuz?

---

Guzel soru. $f(x)=e^x$ fonksiyonundaki $x=\pi$ degerinin verdigi degeri $e^\pi$ olarak tanimlayalim. Ben tanimlamiyorum, bunlar standart olmali. 

---

çok sayıda çözümü var  bu sitede

buda rus çözümü tıkılayınız

---

Site dili Turkce ve buna ozen gostermek lazim. Bende bu soruyu bir siteden aldim, cevabi da vardi.

Ayrica ingilizce sitede bulamadim, rusca da bilmiyorum.

---

hocam bende cok bılmıyorum ama gerçekten adamların matematığe bakışı çok farklı çok seslilik açısından araştırıp buraya yazıyorum

---

Rusça sitedeki çözüm:

$f(x)=x-e\ln x$ olsun. $f'(x)=\frac{x-e}x$ olduğundan $x>e$ için $f'(x)>0$ olur. Bu nedenle $f(x),\ [e,+\infty)$ aralığında  ($f$ nin sürekli  oluşunu da kullanarak) kesin artandır ve $f(e)=0$ dır. $\pi>e$ olduğundan, $\pi\in[e,+\infty)$ olur. Bu nedenle, $f(\pi)=\pi-e\ln\pi>f(e)=0$ olur. $\pi>e\ln \pi$ v e üstel fonksiyon kesin(=mutlak) artan bir fonksiyon olduğu için $e^\pi>e^{e\ln\pi}=\pi^e$ elde edilir.

---

Ek açıklama için teşekkürler daha iyi anladım.

---

http://math.stackexchange.com/questions/1410230/proving-that-e-pi-pie-lt-1-without-using-a-calculator