Öncelikte integrali hesaplayalım.İntegeral :
$$\int\:n^{\frac{1}{x}}\:dx$$
$u=n^{\frac{1}{x}}$ ve $dx=du$ olacak şekilde kısmi integral alalım.
$$n.x^{\frac{1}{x}}+\ln(n)\int\,\frac{n^{\frac{1}{x}}}{x}\:dx$$
$\frac{\ln(n)}{x}=u$ olacak şekilde değişken değiştirelim.
$$n.x^{\frac{1}{x}}-\ln(n)\int\,\frac{e^u}{u}\:du$$
İntegrali üstel integral ile yazıp çözelim.
$$\int\:n^{\frac{1}{x}}\:dx=n.x^{\frac{1}{x}}-\ln(n)Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{x}\bigg)$$
Şimdi belirli integrali ve limiti bulalım.
$$\lim\limits_{n\to\infty}\:n^{\frac{1}{n}}-\frac{\ln(n)}{n}Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{n}\bigg)-1+\frac{\ln(n)}{n}Ei(\ln(n))$$
Sadeleştirelim.
$$\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:n^{\frac{1}{n}}-1\Bigg)-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{n}\bigg)\Bigg)-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei(\ln(n))\Bigg)$$
İlk limiti kolayca bulabiliriz.
$$-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei\bigg(\frac{\ln(n)}{n}\bigg)\Bigg)-\Bigg(\lim\limits_{n\to\infty}\:\frac{\ln(n)}{n}Ei(\ln(n))\Bigg)$$
Wolframalpha'ya göre $1.$ limit $0$ , $2.$ limit ise $1$ .
Limitlerin çözümünü bulunca yazıya eklerim.Bulan varsa yorum olarak da yazabilir.