Serimiz :
∞∑n=1(−1)nβ(n)
Buradaki eşitlikte k yerine −1 verelim.Eşitlik :
∞∑n=1β(n)kn=12kΦ(−1,1,12−12k)
∞∑n=1β(n)(−1)n=−12Φ(−1,1,1)
Lerch zeta fonksiyonunu bu özel hali için dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.
−12η(1)
η(1)=ln2 olduğunu biliyoruz.
∞∑n=1(−1)nβ(n)=−ln22