Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
265 kez görüntülendi

$\beta(n)$ dirichlet beta fonksiyonu olmak üzere :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$$

Serisini hesaplayın.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 265 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Serimiz :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)$$

Buradaki eşitlikte $k$ yerine $-1$ verelim.Eşitlik :

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{k^n}=\frac{1}{2k}\Phi\Bigg(-1,1,\frac{1}{2}-\frac{1}{2k}\Bigg)$$

$$\sum_{n=1}^\infty\:\frac{\beta(n)}{(-1)^n}=-\frac{1}{2}\Phi(-1,1,1)$$

Lerch zeta fonksiyonunu bu özel hali için dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$$-\frac{1}{2}\eta(1)$$

$\eta(1)=\ln2$ olduğunu biliyoruz.

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\sum_{n=1}^\infty\:\:(-1)^n\:\beta(n)=-\frac{\ln2}{2}}}$$

(1.1k puan) tarafından 
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,865 kullanıcı