Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
301 kez görüntülendi

$(x_n)$ dizisi  $x_1=1$ ve $x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$  biçiminde tanımlanıyor.Buna göre,

$\lim_{n \to \infty}(x_n)$ limiti kaçtır?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (594 puan) tarafından  | 301 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
1) Her $n\geq1$ icin $x_n\leq2$ esitsizligi saglanir:

$n=1$ icin $x_1=1\leq 2$ dogru. $n=k$ icin dogru oldugunu varsayalim. $x_{k+1}=\sqrt{x_k+2}\leq\sqrt{2+2}=2$.

2) Verilen dizi artandir: 

Burda $1\leq x \leq 2$ icin $\sqrt{x+2}-x$ fonksiyonunun pozitif oldugunu gosterecegiz. Bunu oluyucuya birakiyorum. Neden bunu gostermemiz gerekli, bu da onemli? Bunu gostermek dizinin artan oldugunu nasil gosteriyor?

Eger bir dizi artan ve ustten sinirli ise limiti vardir. Bu limit $L$ olsun.
Gosteriniz: $\lim \sqrt{2+x_n}=\sqrt{2+L}$
Gosteriniz: $L=\sqrt{2+L}=L$ ise $L=2$ olmali.

Not: Aslinda ortaogretimsel cozumu (pratik olsun diye) $L=\sqrt{2+L}$'den $L$'yi bulmak olabilir. Fakat bunlarin nedeni de onemli.
(25.4k puan) tarafından 
Üstten sınırlı ve artan bir dizinin limiti vardır.
20,247 soru
21,773 cevap
73,414 yorum
2,135,497 kullanıcı