Türev sorusu

Question

$f$ fonksiyonu $t$ noktasında sürekli bir fonksiyonu olsun. $$\int_0^tsin(t-s)f(s)ds$$fonksiyonunun $t$ noktasındaki türevi nedir?

Comments

İpucu: $\sin(t-s)=\sin t\cos s-\cos t\sin s$

Answer 1

$\int_{0}^{t} sin(t).cos(s).f(s)−cos(t).sin(s).f(s) ds$

Bu interagrali ikiye böler ve iki farklı Leibniz kuraı uygularsak.

$\int_{0}^{t} sin(t).cos(s).f(s) ds$ + $\int_{0}^{t} −cos(t).sin(s).f(s) ds$

İlk İntegralde Leibniz kuralı uygularsak.

Leibniz kuralı=https://tr.wikipedia.org/wiki/%C3%87arpma_kural%C4%B1

$\int_{0}^{t} sin(t).cos(s).f(s) ds$

$sin(t).cos(t).f(t)+sin(t).(f^|(t).cos(t)-sin(t).f(t))$ gelir.

Aynı mantıkla diğerinide çözersek.

$\int_{0}^{t} −cos(t).sin(s).f(s) ds$

$−cos(t).sin(t).f(t)+-cos(t).(cos(t).f(t)+f^|(t).sin(t))$ gelir bunları bileştirirsek.

$sin(t).cos(t).f(t)+sin(t).(f^|(t).cos(t)-sin(t).f(t))−cos(t).sin(t).f(t)+-cos(t).(cos(t).f(t)+f^|(t).sin(t))$

İfadenin t noktasındaki türevi olur.

Answer 2

$$F(t)=\int_0^t \sin(t-s)\,f(s)\,ds=\sin t\int_0^t\cos s\; f(s)\;ds-\cos t\int_0^t \sin s\; f(s)\;ds$$

olur. Buradan (Türev almada Çarpım Kuralı ve Diferansiyel İntegral Hesabın Temel Teoremi kullanılarak) türev:

$\begin{eqnarray}F'(t)&=&\cos t\int_0^t\cos s\; f(s)\;ds+\sin t\cos t\; f(t)+\sin t\int_0^t \sin s\; f(s)\;ds-\cos t \sin t\; f(t) \\ &=& \int_0^t(\cos t\cos s +\sin t\sin s)f(s)\;ds=\int_0^t\cos(t-s)f(s)\;ds\\&=&\int_0^t\frac{\partial}{\partial t}\left(\sin(t-s)\right)\,f(s)\;ds\end{eqnarray}$ olarak bulunur.