$F/K$ fonksiyon cismi icin yerleskeler ve ayrik degerlendirme fonksiyonlarinin tanimi ve de keskin ucgen esitsizligi

Question

Tanim: (a) $F/K$ fonksiyon cisminin herhangi bir $\mathcal O$ deger halkasinin maksimal ideali olan $P$ idealine $F/K$ fonksiyon cisminin bir yerleskesi diyoruz. $P$ idealinin icerisinde $P=t\mathcal O$ sartini saglayan $t$ elemanlarina $P$ icin asal bir eleman diyoruz (ya da yerel parametre, uniform yapan degisken de denilebiliyor).
(b) $\mathbb P_F=\{P \: | \: \text{ $P$ bir $F/K$ yerleskesi}\}$.

Gosteriniz: Eger $\mathcal O$ halkasi $F/K$ fonksiyon cisminin deger hakasi ise ve $P$ de bu halkanin maksimal ideali ise $\mathcal O$ halkasi $P$ ideali tarafindan biricik sekilde belirlenir. 

Bu nedenle $\mathcal O_P := \mathcal O$ halkasini (artik) $P$ yerleskesinin deger halkasi olarak tanimlayabiliriz.

Tanim: $F/K$ fonksiyon cisminin $\mathcal v \: :\: F \rightarrow \mathbb Z \cup \{\infty\}$ ayrik degerlendirme fonksiyonu 
(1) $\mathcal v(x)=\infty \iff x=0$,
(2) Tum $x,y \in F$ icin $\mathcal v(xy)=\mathcal v(x)+\mathcal v(y)$,
(3) Tum $x,y \in F$ icin $\mathcal v(x+y)\geq \min\{\mathcal v(x),\mathcal v(y)\}$,
(4) $v(z)=1$ olan bir adet $z\in F$ vardir,
(5) $0\ne x \in K$ elemanlari icin $v(x)=0$
sartlarini saglayan bir fonksiyondur.

Gosteriniz:
Onsav: (Keskin Ucgen Esitsizligi) $\mathcal v$ fonksiyonu $F/K$ fonksiyon cisminin bir ayrik degerlendirmesi olsun ve $x,y \in F$ elemanlari icin $\mathcal v(x) \ne \mathcal v(x)$ olsun. Bu durumda $\mathcal v(x+y)=\min\{\mathcal v(x),\mathcal v(y)\}$ olur.

Comments

Ceviri yardimi: (Cevirilerim)

place : yerleske
parameter : parametre
uniformizing variable: uniform yapan degisken (bunu pek ceviremedim)
discrete valuation : ayrik degerlendirme
 strict triangle inequality: keskin ucgen esitsizligi

onerisi olan?

---

'uniform yapan' yerine 'düzgünleştiren', 'keskin üçgen eşitsizliği' yerine de 'katı üçgen eşitsizliği' olur mu?

Answer 1

ilk soru aslinda daha onceden gosterdigimiz bir tanima dayaniyor:  $\mathcal O=\{z \in F \:|\: z^{-1}\not \in P\}$.

Diger soruda da: (Genelligi kaybetmeden) $\mathcal v(y) > \mathcal v(x)$ oldugunu kabul edebiliriz. (Edebilir miyiz?) Bu durumda gostermemiz gereken: $$\mathcal v(x+y)=\mathcal v(x).$$

Deger fonksiyonun 2. ve 5. ozelliginden $$\mathcal v(-y)=v(-1\cdot y)=\mathcal v(-1)+\mathcal v(y)=0+\mathcal v (y)=\mathcal v (y).$$ Deger fonksiyonunun 3. ozelliginden $$\mathcal v (x)=\mathcal v ((x+y)-y)\geq \min\{\mathcal v (x+y),\mathcal v (-y)\}\geq \mathcal v (x).$$

Basi $\mathcal v(x)$ sonu $\mathcal v(x)$, bu su demek aradakilerin hepsi birbirine esit, yani $\min\{\mathcal v(x+y),\mathcal v(y)\}=\mathcal v(x)$. Icerdekilerden en az biri $\mathcal v(x)$'e esit ve $\mathcal v(y) \ne \mathcal v(x)$. Bu da bize $\mathcal v(x+y)=\mathcal v(x)$ oldugunu verir. 

Not: kitap bunu $\mathcal v(x+y) >\min\{\mathcal v(x),\mathcal v(y)\}$ esitsizligini kabul edip (daha sonra celiski bulup) ispatliyor. Ispatlar tamamen benzer sadece ispata yaklasma sekilleri farkli. Bu yontemi de kitaptan okuyabilir ya da kendiniz bu kabul uzerinden soruyu cozmeyi deneyebilirsiniz. Bi kagit kalem alip bazen denemek lazim.