Ilk olarak bir onceki soruyla iliskili ve bu soruda da ise yarayacak bir kac ozelligi tartisalim ve sorunun cozumune gecmeden soruya bi isinalim. Yine uzun uzun anlatmaya calisacagim.
Bir onceki soruda $\tilde K \cap P=\{0\}$ oldugunu gosterdik. Bu ne demek?
$\tilde K$ kumesinin $K$ cismi uzerinde $F$ cisminin cebirsel elemanlarini iceren kume oldugunu hatirlayalim. Elimizde $\tilde K \cap P=\{0\}$ kume esitligi var. Bu su demek: $P$ (biricik maksimal) idealinin sifir disindaki hic bir elemani $K$ uzerinde cebirsel olamaz. Cunku olsaydi kesisimde olmak zorunda olurdu.
Demek ki $0 \ne x \in P$ elemanimiz $K$ uzerinde askin bir eleman. Askin elemanlarin karakterizesini yapmistik: Bu karakterize sunu soyluyor: $x \in F$ elemani $K$ uzerinde askindir ancak ve ancak $F/K(x)$ genislemesi sonludur. Yani $[F:K(z)]< \infty$. Isinalim derken de sorunun bir parcasini gostermis olduk.
Su an elimizde $F/K(x)$ genislemesinin sonlu oldugu var. Biraz lineer cebir bilgisiyle sunu soyleyebiliriz: $F$ cismi $K(x)$ uzerinde bir vektor uzayidir.
Amacimiz neydi, onu bir hatirlayalim: $[F:K(x)] \geq n$ oldugunu gostermek. Cunku geriye bi bu kaldi.
Peki bir vektor uzayinin derecesinin bir $n$ sayisindan daha buyuk (-esit) oldugunu nasil gosteririz? Yine en basitinden alt cisimde uzerinde ($K(x)$ cismi) ust cisimden ($F$ cismi) $n$ adet lineer bagimsiz eleman oldugunu gosterebiliriz.
Soyle bir soruya bakinca da $F$ icerisinde olan $P$ idealinin $n$ tane elemaninin verildigini goruyoruz. insanin aklina su geliyor: $n$ eleman verilmis ve $\geq n$ oldugunu gostermemizi istiyor. Demek ki bu elemanlar lineer bagimsiz olmali.
Tabi matematikte olmali demekle olmuyor. Bi ispat etmek gerekli:
Hadi diyelim ki bunlar lineer bagimli olsun. O zaman hepsi sifir olmayacak sekilde $\varphi_1(x),\cdots,\varphi_n(x) \in K(x)$ vardir ki $$\varphi_1(x)x_1+\cdots+\varphi_n(x)x_n=0$$ esitligi saglanir.
Simdi burda biraz duralim ve isimizi kolaylastiralim.
1) Bu $\varphi_i(x)$ elemanlari $K(x)$ cisminin elemanlari. Bunlari $\frac{s_i(x)}{t_i(x)}$ olacak sekilde $K[x]$ polinom halkasindaki elemanlarin bolumu seklinde yazabiliriz.
2) Simdi yukaridaki esitligi paydadaki elemanlarin en kucuk ortak boleniyle (boyle bir kavram $K[x]$ polinom halkasinda var mi? en kucuk ortak bolen? evet, var. Olmasa da hepsinin carpimini alirdik. Aklima yatmadi diyenler paydalarin carpimini alabilir.) carparsak. Elimizde $K[x]$'in elemanlari olur.
3) Hatta dahasi $x$ pantezine alaraktan (karsi taraf nasil olsa sifir) $\varphi_i(x)$ elemanlarimizi su sekilde secebiliriz: $\varphi_i(x) \in K[x]$ ve $a_i := \varphi_i(0)$ elemanlarinin hepsi ayni anda sifir olamaz.
Elimizdekini bastan yazalim: Oyle $\varphi_1(x),\cdots,\varphi_n(x) \in K[x]$ vardir ki $$\varphi_1(x)x_1+\cdots+\varphi_n(x)x_n=0$$ esitligi saglanir ve $a_i := \varphi_i(0)$ elemanlarinin hepsi sifir olamaz.
Burdaki kilit nokta $a_i$ elemanlarindan en az biri $0$ degil. Guzel ve basit bir etkinlik sorusu: $1 \leq j \leq n$ olacak sekilde oyle bir $j$ vardir ki $a_j \ne 0$ ve eger $i>j$ ise $a_i=0$. Evet boyle bir $j$ var.
Yine bir onceki sorudan $K \subset \mathcal O$ oldugunu ve tanimdan dolayi da $x$ elemanini iceren $P$ idealinin $\mathcal O$ halkasinin icerisinde oldugunu biliyoruz. Yani $K[x] \in \mathcal O$ ve daha ozel ve isimize yarayacak sekilde $\varphi_i(x) \in \mathcal O$.
Elimize neler var: Eger $i<j$ ise $x_i \in x_jP$, yani $\frac{x_i}{x_j} \in P$. Ayrica $i>j$ ise $a_i=0$ yani sabit terim $0$, demek ki $g_i(x) \in K[x]$ olacak sekilde $\varphi_i(x)=xg_i(x)$ esitligini yazabiliriz.
Tee en yukardaki $\varphi_1(x)x_1+\cdots+\varphi_n(x)x_n=0$ esitligini $x_j$ elemani ile bolersek: $$-\varphi_j(x)=\sum\limits_{i<j}\varphi_i(x)\frac{x_i}{x_j}+\sum\limits_{i >j} \frac{x}{x_j}g_i(x)x_i$$ esitligini elde ederiz.
Artik sona geldik. Biliyoruzki $K[x] \subset \mathcal O$ ve $P$ bunun ideali. Biliyoruz ki $\varphi_i(x)$ ve $g_i(x)$ dediklerimiz $\mathcal O$ halkasinin elemanlari ve toplamdaki diger carpanlar $P$ idealinin elemani. Demek ki sag taraf $P$ idealinin elemaniymis.
Artik elimizde su var: $\varphi_j(x) \in P$. Bunu $\varphi_j(x)=a_j+xg_j(x)$ seklinde yazabiliriz. Daha onceden de dedigimiz gibi $P$ dedigimiz $\mathcal O$ halkasinin ideali ve $K[x] \subset \mathcal O$ , yani $xg_j(x) \in P$. Burdan da artik, en sonunda, $a_j$ elemaninin $P$ idealinde oldugunu gostermis olduk.
Bu $a_j$ hem $K$ cisminin hem de $P$ idealinin elemani ve de sifirdan farkli. Fakat biz biliyoruz ki (en basta basladigimiz ifade olan) $\tilde K \cap P=\{0\}$. Yani boyle bir $a_j$ elemani olamaz. Demek ki kabulumuz yanlismis. Demek ki bu $x_i$ elemanlari lineer bagimsizmis. Bu da ispatimizi bitirir.