Cevabi uzun uzun, bir kac basit cebir bilgisine sahip olacak bir kisinin bile anlayacagi sekilde yazdim. Aslinda ispat kisa.. Haydi baslayalim..
ilk olarak $\mathcal O$ halkasi carpmaya gore degismeli ve birim eleman olan $1$'e sahip.
Peki yerel halka ne demek? Adi uzerinde halka ve bu halkanin ozelligi de biricik maksimal idealinin olmasi. Bu durumda da bu maksimal idealin tersinirler disindaki elemanlari icermesi gerekir (mi?). Zaten verilen $P$ kumesi de bu elemanlari iceren kume. Geriye kalan, bu kume $\mathcal O$ halkasinin ideali mi?
Amacimiz $P$ kumesinin ideal oldugunu gostermek. Bunun icin de en bilindik yontem olan:
1) Her $a \in P$ ve $b \in \mathcal O$ icin $ab \in P$ oldugunu gostermeliyiz:
$ab \in \mathcal O$, peki bu eleman birim mi? Birim olsa tersi $a^{-1}b^{-1} \in \mathcal O$ olmasi gerekir. (Not: Bu eleman var fakat $F$ cisminin bir elemani.) Fakat $a$ elemani $P$'de yani $a^{-1} \not \in \mathcal O$ ve $b$ elemani $\mathcal O$ halkasinda tersinir oldugundan $b^{-1} \in \mathcal O$. Burdan $a^{-1}b^{-1} \not \in \mathcal O$ sonucunu elde ederiz. (Bu da basit bir cikarim, ispati da bir satirlik.) Kisacasi $ab$ elemani $\mathcal O$'nun elemani fakat bu halka icerisinde tersinir de degil, yani $ab$ elemani $P$ kumesi icerisinde.
2) Her $x,y \in P$ icin $x+y \in P$ oldugunu gostermeliyiz:
ilk olarak tanimdan dolayi $x/y$ ya da $y/x$ elemanlarindan en az biri $\mathcal O$ halkasinin elemani. O zaman (genelligi kaybetmeden) $x/y$ elemaninin $\mathcal O$ halkasinin elemani oldugunu kabul edebiliriz. (Edebilir miyiz?) Ayrica $\mathcal O$ bir halka ve de $1 \in \mathcal O$ oldugundan $1+x/y$ elemani da $\mathcal O$ halkasinin elemanidir. Yukaridaki 1. adimin ispatindan $y\in P$ ve $1+x/y \in \mathcal O$ oldugundan $x+y=y(1+x/y) \in P$ olur.
Galiba $P$'nin ideal oldugunu ve daha da fazlasi olaraktan biricik maksimal ideal oldugunu gosterdik. Soru: (Galiba dememin sebebi:) Peki bu $P$ bos kume olabilir mi? Bos kume olsa bir sikinti olur muydu? Bundan hic bahsetmedik. Bos kume olmamasinin sebebi $0 \in P$. Bu tamam. Peki bos kume olmadigini gostermemiz gerekli mi?
ilk ispatimiz bitti. ikincisinin ispati zaten tanimdan, tanimin farkli bir sekilde yazilisi. Bunu da $P$'nin tanimi olarak kabul edebiliriz. Tanim ispatlanmaz fakat ilk tanimimizla uyumlu mu, degil mi, bunu ispatlamamiz gerekir. Bu da basit bir ispat. Ayrica: bknz.matematikte tanimlari ispatlamamiz gerekiyor mu? Fark edildi mi bilmiyorum ama bunu ilk ispatta kullandim.
($K$ cismi uzerinde) cebirsel eleman ne demek? Eger bir eleman katsayilari $K$ cisminde olan monik (bas katsayisi $1$ olan) bir polinomun koku ise bu elemana cebirsel eleman diyoruz. Simdi ispatimiza basliyalim.
$z\in \tilde K$ iken $z \in \mathcal O$ ise sikinti yok zaten. Hadi kabul edelim ki bir adet $0 \ne z \in \tilde K$ elemani $\mathcal O$ halkasinin elemani olmasin, yani $z \not \in \mathcal O$. $\mathcal O$ halkasinin tanimindan dolayi $z^{-1} \in \mathcal O$ olmali.
$z$ elemanimiz cebirsel. Yani $a_0,\cdots,a_{n-1} \in K$ olacak sekilde (baskatsayisi $1$ olan ilgili polinomumuza $z$ degerini koyduk:) $z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0=0$.
Burda $z^{n}$ parantezine alacagiz. $z^{-n}(1+a_{n-1}z^{-1}+\cdots+a_0z^{-n})=0$. Bu esitlik bir cisim icerisinde oldugundan ve de cisimlerde sifir bolen olmadigindan ve hatta $z \ne 0$ oldugundan $1+a_{n-1}z^{-1}+\cdots+a_0z^{-n}=0$ olmali. Daha ise yarar sekilde: $$1=z^{-1}(-a_{n-1}-\cdots-z^{-n+1})$$ olmali. Malumumuz ki $z^{-1}$ ile $z$'yi carparsak $1$ yapar. O zaman $$z=-a_{n-1}-\cdots-z^{-n+1} \in K [z^{-1}].$$Biliyoruz ki (tanimdan dolayi) $K \subset \mathcal O$ ve ispat basindaki kabulden dolayi da $z^{-1} \in \mathcal O$. Yani $K[z^{-1}] \subset \mathcal O$ ve bizim icin onemli olani da $z \in \mathcal O$. Bu da celiski verir. Cunku biz basinda boyle kabul etmemistik. Bu da su demek oluyor: $z \in \tilde K$ ise $z \in \mathcal O$ olmali.
Son vurus olarak da: $\tilde K \subset \mathcal O$ ve de $0$ elemani disindaki her elemanin tersi $\tilde K$ cisminde mevcut. Demek ki bu elemanlar $P$ (biricik maksimal) idealinin tanimindan dolayi $P$ idealinin elemani olamaz, yani $\tilde K \cap P=\{0\}$.
Gereksiz bir not: Basindan beri $\mathcal O$ bir halka, $\mathcal O$ bir halka diye tutturuyoruz. Peki verilen $\mathcal O$ icin verilen iki sarti saglayan her kume halka yapisina sahip midir? Bu soruyu hic dusunmedim. Dusunmek de gerekli mi bilmiyorum. Fakat bunu dusunmemize gerek yok (diyebilirim). Zaten $\mathcal O$ kumesinin tanimlanisi "bu iki ozelligi saglayan halka", yani tanimdan dolayi bu bir halka.