Fonksiyon cisimlerinde turev ve ilk dogal ozellikleri

Question

Unite ón-kabulleri: Bu unitede tek degiskenli cebirsel fonksiyon cisimleri ile ilgilenecegiz. $K$ cismi $F$ cisminin tum sabitlerinin cismi ve $K$ cisminin mukemmel (perfect) oldugunu kabul edelim.

Tanim 4.1.1: $M$ abel grubu $F$ cismi uzerinde bir modul olsun (yani vektor uzayi). $\delta:  F \to M$ fonksiyonuna $F/K$ fonksiyon cisminin bir turevi diyecegiz eger $\delta$ bir $K$-lineer fonksiyon ise ve carpim kuralini $$\delta(u\cdot v)=u\delta(v)+v\delta(u)$$ tum $u,v \in F$ icin saglaniyorsa.

Onsav 4.1.2:  $\delta: F \to M$ fonksiyonu $F/K$ fonksiyon cisminin bir turevi olsun. Bu durumda 
a) Her $a \in K$ icin $\delta(a)=0$ olur,
b) Her $z \in F$ ve $n \geq 0$ tam sayisi icin $\delta(z^n)=nz^{n-1}\delta(z)$ olur,
c) Eger $\text{char } K=p>0$ ise her $z \in F$ icin $\delta(z^p)=0$ olur,
d) Her $x \in F$ ve $0 \ne y \in F$ icin $\delta(x/y)=(y\delta(x)-x\delta(y))/y^2$ olur.

Answer 1

a) ilk olarak $$\delta(1)=\delta(1\cdot1)=1\cdot\delta(1)+1\cdot\delta(1)$$ oldugundan $\delta(1)=0$ olur. Ayrica $\delta$ bir $K$-lineer fonksiyon oldugundan her $a \in K$ icin $$\delta(a)=\delta(a\cdot1)=a\delta(1)=0$$ olur.

b) Verilen ifade $n=1$ icin dogru: $z \in F$ olsun. Bu durumda $$\delta(z^n)=\delta(z)=nz^{n-1}\delta(z)$$ olur. Tumevarim icin baslangic noktamiz var artik. 

Verilen ifadenin $n=k$ icin dogru oldugunu kabul edelim.  Bu durumda $$\delta(z^{k+1})=\delta(z\cdot z^k)=z^n\delta(z)+z\delta(z)$$ $$=z(kz^{k-1}\delta(z))+z^k\delta(z)=(k+1)z^k\delta(z)$$ oldugundan eger verilen ifade $n=k$ icin dogru ise $n=k+1$ icin de dogrudur. Ispatimi tume varim ile bitmistir.

c) b'den dolayi $\delta(z^p)=pz^{p-1}\delta(z)$ olur ve $\text{char } K=p$ oldugundan ifade sifira esit olur.

d) Ilk olarak $\delta(1/y)=-\delta(y)/y^2$ oldugunu gosterelim: $$0=\delta(1)=\delta(y\cdot 1/y)=y \delta(1/y)+\frac1y\delta(y)$$ oldugundan $\delta(1/y)=-\delta(y)/y^2$ olur.

Bu durumda $$\delta(x/y)=x\delta(1/y)+\frac1y \delta(x)=x(-\delta(y)/y^2)+\frac1y\delta(x)=(y\delta(x)-x\delta(y))/y^2$$ olur.

Comments

bu ne hocam:)