Rastgele degisken

Question

$(Y,\nu)$ bir olasilik olcum uzayi ve $X$ de herhangi bir kume olsun. $Y$'den $X$'e giden herhangi bir fonksiyona rassal degisken (random variable) denir. Rassal bir $f:Y\longrightarrow X$ verildiginde $x\in X$ icin $\nu_f(x)$ degeri $$\nu\{f=x\}=\nu_f(x):=\nu\big(\{y\in Y:f(y)=x\}\big)=\nu(f^{-1}(x))$$olarak tanimlanir.

Birinci soru. $\nu_f$ fonksiyonunun $X$ uzerinde bir olasilik olcumu tanimladigini ispatlayin.

Ikinci soru. $Y=\{1,2,3,4,5,6\}\times\{1,2,3,4,5,6\}$ kumesi uzerinde her elemana $\frac{1}{36}$ degerini veren olasilik olcumunu $\nu$ ile gosterelim.  $X$ kumesi de $\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$ olsun. Simdi su rassal degiskene bakalim: $$f:Y\longrightarrow X \\ (a,b)\longmapsto a+b$$ Bu rassal degiskene bagli olarak tanimlanan $\nu_f$ olasilik olcumunun suradaki ucuncu soruda tanimlanmis olan olasilik olcum uzayi oldugunu gosterin.

Answer 1

1) $\nu_f:\:X\rightarrow [0,1]$ fonksiyonunun goruntu toplaminin $1$ oldugunu gostermeliyiz: $$\sum\limits_{x\in X}\nu_f(x)=\sum\limits_{x\in X} \nu(f^{-1}(x))=\sum\limits_{y\in Y} \nu(y)=1.$$

2) Olasiliklarin esit oldugu verilmis, Verilen bir $x \in X$ degerine $f$ fonksiyonunun kac adet $Y$ kumesinden eleman goturdugunu bulmamiz yeterli: (usenmemek gerekirse)
$2=1+1$,
$3=2+1=1+2$,
$4=3+1=2+2=3+3$,
$5=4+1=3+2=2+3=1+4$,
$6=5+1=4+2=3+3=2+4=1+5$,
$7=6+1=5+2=4+3=3+4=2+5=1+6$,
$8=6+2=5+3=4+4=3+5=2+6$,
$9=6+3=5+4=4+5=3+6$,
$10=6+4=5+5=4+6$,
$11=6+5=5+6$,
$12=6+6$.

Bunu formulize etmek zor olmasa gerek.