Doğal sayıları, her ikisi de en az 3 terimli aritmetik dizi içermeyecek 2 parçaya ayırabilir miyiz?

Question

ı

Aritmetik dizi  ardışık terimlerinin farkının hep sabit kaldığı dizidir. Örneğin 2,5,8 gibi. Soruyu şöyle de düşünebiliriz. Eğer cevap hayır ise, her $\mathbb{N}=A \cup B$, $A \cap B =\emptyset$ olarak yazdığımda, ya, $A$ içinde $a_1,a_2,a_3$ gibi elemanları, $a_2-a_1=a_3-a_2$ olacak şekilde, ya da $B$ içinde $b_1,b_2,b_3$ gibi elemanları $b_2-b_1=b_3-b_2$  olacak şekilde şeçebilirim demektir.

Answer 1

Hayır, doğal sayıların böyle bir parçalanışı olamaz.

Hatta yeterince büyük bir $N$ için $\{1,2,...,N\}$ kümesini bile üç terimli aritmetik dizi içermeyen iki parçaya ayırmanın yolu yoktur. Bahsettiğiniz fenomen van der Waerden'in teoreminin özel bir durumudur. Aradığınız sayı da $W(2,3)$, ki değeri $N=9$ imiş.

Sonsuz van der Waerden teoreminin bir sonucu olarak da eğer doğal sayıları sonlu sayıda parçaya ayırırsanız, parçaların en az biri istediğiniz kadar uzunlukta aritmetik diziler içerecektir. Eğer doğal sayıların alt kümelerinin içerdiği aritmetik dizilerle ilgileniyorsanız van der Waerden teoreminin bir genellemesi olarak Szemerédi'nin teoremine de bakabilirsiniz.

Comments

güzelmiş bir teoremmiş.