Karmaşık analizi özlemiş olsam gerek, analitik kanıt vermek istedim. Ama öncesinde bir sav ve bir önsava ihtiyacımız var.
Sav (Louville Savı): Bir fonksiyon tam (entire) ve sınırlı ise sabittir.
İspatta genel Cauchy integral formülünden yararlanılıyor. Fonksiyon sınırlı olduğundan türevinin her noktadaki mutlak değeri (absolute value) istenildiği kadar küçültülebiliyor. Yani fonksiyonunun türevi her noktada $0$, o halde fonksiyonun kendisi sabit.
Önsav: $p(z)=a_nz^n+\dots+a_1z+a_0$ polinomu için öyle $R>0$ ve $m>0$ değerleri vardır ki, eğer $|z|>R$ ise o zaman $|p(z)|>m$ olur.
Bu ispatta ise $p(z)$ polinomu yeniden düzenlendikten sonra, birkaç işlem sonucu \begin{equation} |p(z)|>\frac{|a_n|}{2}\end{equation} şeklinde elde edilen bir eşitsizlik kullanılıyor.
Zannediyorum her karmaşık analiz kitabında detaylı ispatları bulunabilir. Şimdi asıl savımızı kanıtlayalım.
Asıl Sav: Sabit olmayan her karmaşık polinomun bir kökü vardır.
Kanıt: Diyelim ki $p(z)$ polinomunun kökü olmasın. $p(z)$ tam olduğundan, \begin{equation} q(z)=\frac{1}{p(z)}\end{equation}de tamdır. Önsavdan biliyoruz ki öyle $R>0$ ve $m>0$ değerleri vardır ki, eğer $|z|>R$ ise o zaman $|p(z)|>m$ olur. Bu durumda, \begin{equation} |q(z)|=\frac{1}{|p(z)|}<\frac{1}{m}\end{equation} olur. $D=\{z: |z|\leq R\}$ kümesi tıkız (compact) ve $|q(z)|$ sürekli olduğundan $D$ üzerinde $|q(z)|$'nin maksimumu vardır: Bir $M_R$ için, \begin{equation} |z|\leq R \Rightarrow |g(z)|\leq M_R. \end{equation}
Sonuç olarak her $z\in\mathbb{C}$ için, $|g(z)|\leq\text{max}\{\frac{1}{m},M_R\}$, yani $g(z)$ sınırlı. Louville Savı'ndan \begin{equation} q(z)=\frac{1}{p(z)}\end{equation} fonksiyonu sabit, bu durumda $p(z)$ fonksiyonu sabit.
Bu savın doğrudan bir sonucu olarak diyebiliriz ki, bütün karmaşık polinomlar doğrusal (linear) çarpanlarına ayrılabilir. Bu durumda tam olarak derecesi kadar kökü olur. Tabii kimi kökler birden fazla sayılmış olabilir.