Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
575 kez görüntülendi

Sonlu cisimler için sağlanan temel savlar aracılığıyla bu iddiayı ispatlamak gayet kolay tabii ki. Diğer taraftan bu savları kullanmadan bu genişlemeyi nasıl elde edebiliriz? Daha özel manada bu genişlemeyi nasıl 'inşa' edebiliriz?

Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 575 kez görüntülendi

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Karakteristik 2 değilse kolay:

$x\mapsto x^2$ 1-1 değildir ($\pm1\mapsto 1$) öyleyse örten değildir. $a$ tam kare olmasın, $x^2-a$ indirgenemez olur, $F[x]/(x^2-a)$ cismi $F$ nin 2. derece bir genişlemesidir.

$F=\mathbb{Z}_2$ için $x^2+x+1$ indirgenemezdir ama diğerleri için bulamadım.

(6.2k puan) tarafından 

Aslinda tum $2^{tek}$ icin indirgenemez. Indigenir olmasi icin $\mathbb{F}_4$'yi icermesi gerekir. Zaten sikintiyi da genelde cift kuvvetler getiriyor bu $\mathbb{F}_2$'da, cok cilesini cekiyoruz.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

http://matkafasi.com/945/%24x-2-x-1%24in-indirgenemez-oldugu-sonlu-cisimler

Bu soru icin bu da okunabilir. Ne kadar az bilgi kullanabiliriz. Bilmiyoum ama 2.dereceden bir indirgemez polinom oldugunu gostermeyi kullanabilirsek, cok daha sonralari ipatlanan (Finite Fields kitabinda) bir teorem var. Ispati da sonlu cisimlerin genel bilgilerini kullanmiyor ve cok sey acikliyor.

Tum sonlu cisimler $\mathbb{F}_q$ ve $n$ icin, derecesi $n$'yi bolen ve $n$'den kucuk esit olan tum indirgenemez polinomlarin carpimi $x^{q^n}-x$'tir.

Burda 2 icin: derecesi 2 olanlarin indirgenmezlerin carpimi $\frac{x^{q^2}-x}{x^q-x}$tir. Yani kesin boyle bir indirgenemez polinom var. Bu tum sayilar icin gecerli, 2 sart degil.

Hatta biliyoruz ki, tum 2.dereceden indirgenemezler $\frac{x^{q^2}-x}{x^q-x}$'i bolecek ve her bolenin derecesi 2 ve dahasi bunlardan baska derecesi 2 olan yok. Tum degisik insalari burda bulabiliriz.



(25.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eger $p=4k+3$ ise $-1$ bir kare degildir ve $\mathbb{F}_p[X]/(X^2+1)$ cismi $\mathbb{F}_p$ cisminin derecesi iki olan bir genislemesidir.

(3.7k puan) tarafından 
20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,008,185 kullanıcı