F, carpimsal grubu sonlu uretecli olacan bir cisim olsun. Her abelyen grup bir Z moduludur. Bu nedenle her cismin carpimsal grubu bir Z moduludur: Z×F×⟶F× (n,x)⟼xn
Yardimci teorem: Tek carpanlama bolgesi uzerine sonlu uretecli bir modulun altmodulleri de sonludur.
Ispat: Bkz. Lang'in Algebra kitabi.
Iddia: F cisminin karakteri sifir olamaz.
Kanit: Eger sifir olsaydi Q cismi F cisminin altcismi olurdu. Yardimci teorem geregi Q−{0} sonlu uretecli bir Z modul olmalidir. Ama bu Q−{0} carpimsal grubunun sonlu uretecli olmasi demektir ki, bunun dogru olmadigini biliyoruz. O halde F cisminin karakteri sifir olamaz.
Yardimci teorem: Sonlu uretecli degismeli bir grup Zn⊕(k⨁i=1Z/qiZ) bicimindedir.
Ispat: Ayni kaynak.
F× ile Zn⊕(⨁ki=1Z/qiZ) arasinda kurulan izomorfizmada (⨁ki=1Z/qiZ) grubunun ongoruntusu sonlu oldugu icin dongusel olmak zorundadir. O halde F× carpimsal grubunun Zn⊕Z/mZ formatinda oldugunu bulduk. F× icinde Z/mZ kismina denk gelen elemanlar, mertebesi sonlu olan elemanlar. Bu elemanlarin olusuturdugu kumeye 0 elemanini eklersek sonlu bir cisim elde ederiz. (not: iki elemanin toplaminin da burada oldugunu gostermek icin karakteristigin p oldugunu kullanmak gerekir). Simdi elimizde F cisminin icince kalan ve carpimsal grubu Z/mZ olan bir K sonlu cismi var. Demek ki F cismimiz K cismimizin genislemesi. Simdi a∈F× mertebesi sonlu olmayan bir eleman olsun. Bu durumda bu a elemani K uzerine cebirsel olamaz. Cunku cebirsel olsaydi, K(a) sonlu bir cisim olurdu ve a elemaninin derecesi sonlu olurdu. O halde a elemani K uzerine askin. Yani K(a) cismi K(X) fonksiyon cismine izomorf olmak zorunda.
Iddia: K(X)× sonlu uretecli degildir. Diyelim ki f1(X)g1(X),⋯,fr(X)gr(X)⊆K(X)× uretec bir kume olsun. K uzerine sonsuz coklukta indirgenemez polinom oldugu icin, hicbir fi ya da ginin boleni olmayan indirgenemez bir h(X) polinomu vardir. Acik ki boyle bir eleman figilerin carpimi olamaz. O halde n=0 olmak zorundadir.
Sonuc: F sonlu bir cisimdir.