Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
491 kez görüntülendi
doğrudan çarpım: direct product, eş yapı: isomorphism.
Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 491 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu daha genel olarak nilpotent gruplar için doğru, dolayısı ile değişmeli gruplar için de doğru. İnternette birçok yerde bununla ilgili şeyler bulabilirsiniz. Mesela aşağıdaki kaynakta Theorem 55'de tam olarak istediğiniz ispat var

http://wwwf.imperial.ac.uk/~jbritnel/Teaching/GTnotes5.pdf

Kısaca fikir şu: Bütün Sylow altgruplarının normal olduklarını kabul edelim. Bu değişmeli grupta tabii ki doğru olacaktır. G'nin bütün Sylow altgruplarını $P_1,...,P_n$ diye listeleyelim. Tümevarım ile her k için ( $1\leq k \leq n$ olacak şekilde)

$P_1\cdots P_k $ çarpımının $P_1\times \cdots \times P_k$

doğrudan çarpımı ile eşyapılı olduğunu göstermek gerekiyor. Bu önerme k=1 için doğru. Bir k için doğru kabul edip k+1 için göstermek gerekiyor. Anahtar gözlem şu: $P_1\cdots P_k$ ile $P_{k+1}$ grubunun eleman sayıları aralarında asal. Bu iki grup da G'de normal. Dolayısı ile sonuç şu basit lemma'dan geliyor: G bir sonlu grup, H ve K onun normal altgrupları olsun. H ve K nın eleman sayıları aralarında asal ise HK ile $H\times K$ eşyapılıdır. Bu lemma'nın ispatı da çok basit. $H \cap K$ altgrubunun bir elemanlı grup olduğunu görmeniz yeterli.

(174 puan) tarafından 
20,204 soru
21,729 cevap
73,289 yorum
1,890,890 kullanıcı