Question

Normlu uzay nedir?

Answer 1

$X$ bir vektor uzayi olsun. Her $x \in X$'i negatif olmayan $||x||$'lerle iliskilendirirsek ve bu iliski
 
(a) Tum $x,y \in X$ icin $||x+y|| \leq ||x||+||y||$,
(b) Eger $x \in X$ ve $\alpha$ skalar ise $||\alpha x||=|\alpha| \: ||x||$,
(c) Eger $x\ne 0$ ise$||x||>0$


sartlarini saglanirsa $X$'e normlu uzay deriz. ($||x||$ : $x$'in normu olarak adlandiriliyor.)

Comments

Walter Rudin'nin fonksiyonel analiz kitabında geçen tüm vektör uzayları, reel veya kompleks sayılar cismi üzerinde vektör uzayları olarak alınıyor. Dolayısıyla normlu uzay tanımında da vektör uzayı, reel veya kompleks sayılar cismi üzerinde.

---

Sonlu cisimler uzerine kurulu vektor uzaylarinda da norm tanimlayabilir miyiz ?

Answer 2

Tanım (Norm, Normlu Uzay): $(X,\oplus)$ grup; $\theta$, $\oplus$ işleminin birim elemanı; $-x$, $x$ elemanının $\oplus$ işlemine göre inversi ve $n:X\rightarrow \mathbb{R}$ fonksiyon olmak üzere

$$n, \,\ X\text{ 'de norm}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} N_1) \,\ (\forall x\in X)(n(x)\geq 0) \\ N_2) \,\ (\forall x\in X)(n(x)=0\Leftrightarrow x=\theta) \\ N_3) \,\ (\forall x\in X)(n(-x)=n(x))\\ N_4) \,\ (\forall x,y\in X)(n(x\oplus y)\leq n(x)+n(y)) \end{array}\right.$$

 

$$(X,n), \text{ normlu uzay}:\Leftrightarrow n, \,\ X\text{ 'de norm}$$

 

Tanım (Normlu Lineer Uzay): $X:=[(X,\oplus),\odot ,(\mathbb{F},+,\cdot)]$ lineer uzay ve $n:X\rightarrow \mathbb{F}$ fonksiyon olmak üzere

$$n, \,\ X\text{ 'de norm}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} N_1) \,\ (\forall x\in X)(n(x)\geq 0) \\ N_2) \,\ (\forall x\in X)(n(x)=0\Leftrightarrow x=\theta) \\ N_3) \,\ (\forall x\in X)(\forall \lambda \in \mathbb{F})(n(\lambda \odot x)=|\lambda | \cdot n(x))\\ N_4) \,\ (\forall x,y\in X)(n(x\oplus y)\leq n(x)+n(y)) \end{array}\right.$$

$$(X,n), \text{ normlu lineer uzay}:\Leftrightarrow n, \,\ X\text{ 'de norm}$$

Burada $(\mathbb{F},+,\cdot)$ cismi gerçel sayılar cismi ya da karmaşık sayılar cismidir. Farklı cisimler alıp tanımı daha da soyutlayabiliriz. Farklı cisimler ele aldığımızda yeni bir mutlak değer kavramının da tanımlanması gerekecek. Ele alınan farklı cisimler şayet sıralı cisim ise mutlak değer fonksiyonu her $x\in\mathbb{F}$ için $|x|_{\mathbb{F}}=\max\{-x,x\}$ şeklinde tanımlanabilir.