U⊈V ve V⊈U olsun.
Tüm uzaya W diyelim. W=U∪V olduğunu varsayıp bir çelişki bulacağız.
O zaman u∈U∖V ve v∈V∖U olacak şekilde u,v∈W vektörleri vardır.
u+v∈W=U∪V olduğundan,
u+v∈U veya u+v∈V olmak zorundadır.
u+v∈U durumunda v=(u+v)−u∈U olup bir çelişki ortaya çıkar.
u+v∈V durumunda u=(u+v)−v∈V olup bir çelişki ortaya çıkar.
Bu da, ("ikisi de birbirinin alt uzayı olmayan" eklenerek düzeltilen) iddiayı kanıtlar.