$F/K$ fonksiyon cismi oldugundan tanimi geregi $K$ uzerinde askin olan bir $x\in F$ elemani icin $[F:K(x)]$ sonlu olur.
Ilk olarak $z$ elemani $K$ uzerinde cebirsel oldugunda $[F:K(z)]$ degerinin sonlu olmayacagini gosterelim. Bu diger yone nazaran nispeten kolay.
$[F:K(x)]$ ifadesini su sekilde yazalim: $$[F:K(x,z)][K(x,z):K(x)].$$ $z$ elemani $K$ uzerinde cebirsel oldugundan $$[K(x,z):K(x)] \le [K(z):K]$$ ifadesi de sonlu olur.
Bu cikarim aslinda basit. $z$ elemani katsayilari $K$ cisminden bir polinomun koku ise $K\subset K(x)$ oldugundan ayni polinom $K(x)$ cismi uzerinde de bir polinomdur ve $z$ de bir kokudur.
Bu mantikla $$[F:K(x,z)]=[F(x):K(x,z)] \le [F:K(z)]$$ de olur. Buradaki ilk esitlik $x\in F$ olmasindan geldi. $x\in F$ oldugundan $F=F(x)$ oldu. Bu sekilde yazmamizin sebebi ustte de deginmis oldugumuz basit cikarimi kullanabilmek icindi.
Simdi $[F:K(z)]$ de sonlu olsaydi, $[F:K(x,z)]$ de sonlu olurdu ve $$[F:K(x,z)][K(x,z):K(x)]$$ carpimindaki iki carpan da sonlu olurdu. Bu carpim da $[F:K(x)]$ degerine esit oldugundan ve bu deger sonsuz oldugundan celiski elde ederdik. Demek ki $[F:K(z)]$ sonlu degilmis.
Ispatimizin son kismi icin $z$ elemaninin $K$ uzerinde askin oldugunu kabul edelim ve $[F:K(z)]$ degerinin sonlu olmasi gerektigini gosterelim.
$z\in F$ oldugundan ve $[F:K(x)]$ sonlu oldugundan $z$ elemani (burada $K$ uzerinde askin olmasini kulanmiyoruz) $K(x)$ uzerinde cebirsel olur, yani katsayilari $K(x)$ cisminin elemanlari olan bir polinomun koku olur.
O zaman bu sonucu yazalim: Oyle $\varphi_0(x),\varphi_1(x),\cdots,\varphi_n(x) \in K(x)$ vardir ki $$\varphi_0(x)+\varphi_1(x)z+\cdots+\varphi_n(x)z^n=0$$ esitligi saglanir.
Bu $\varphi_i(x)$ degerlerinin aslinda $K[x]$ ierisinde oldugunu hatta en az bir $\varphi_i(0)$ degerinin sifir olmamasi gerektigini kabul edebiliriz. (Cok ileride olmayan ilerideki bir ispatta bunun sebebini uc madde halinde verdik. Buraya yazmamamizin sebebi bunu okuyucuya ufak bir egzersiz olarak dusundurmeye calismaktir.)
Simdiye kadar $z$ elemaninin $K$ uzerinde askin olmasini kullanmadik. Kullanalim.
Eger $\varphi_i(x)$ elemanlarini n hepsi $K$ cisminin elemani olsaydi, biz $z$ elemanini kat sayilari $K$ cisminde olan bir polinomun koku olarak yazmis olurduk. Bu da bize celiski verirdi cunku $z$ elemani $K$ uzerinde askin. Demek ki en az bir $\varphi_i(x)$ elemani $x$ terimini iceren bir polinom.
O zaman bu $K$ \"uzerinde $x$ ve $z$ degiskenli $$\varphi_0(x)+\varphi_1(x)z+\cdots+\varphi_n(x)z^n$$ polinomunu $x$'in artan kuvvetlerine gore yazip katsayilari $K(z)$ icerisinde kilalim. (Bunu hemen cok dogal yapabiliriz, degil mi?) Yani $\phi_0(z),\phi_1(z)\cdots,\phi_m(z) \in K[z] \subset K(z)$ elemanlari icin ($m \ge 1$) $$\phi_0(z)+\phi_1(z)x\cdots+\phi_m(z)x^m$$ olarak yazalim. Bu polinom usteki polinomun farkli bir ifade edilisi oldugundan bu da sifira esit olur ve dolayisiyla $x$ elemani $K(z)$ uzerinde cebirsel olur. Yani $$[K(x,z):K(z)]$$ sonlu olur. Ayni zamanda $$[F:K(x,z)]=[F(z):K(x,z)] \le [F:K(x)]$$ de sonlu oldugundan $$[F:K(z)]=[F:K(x,z)][K(x,z):K(z)]$$ de sonlu olur. Bu da ispatimizi bitirir.