İntegralimiz :
$$\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$
İntegrali digama fonksiyonunun kısmi türevi ile yazabiliriz.Digama fonksiyonunun tanımı :
$$\psi(s+1)=-\gamma+\int_0^1\:\frac{1-x^s}{1-x}\:dx$$
$$\frac{\partial}{\partial{s}}\:\psi(1-s)-\psi(s)=\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$
Digama fonksiyonunu , Euler'in yansıma formülünün bir benzeri formül ile yazılabilir.Euler'in yansıma formülünün ispatı için buraya bakılabilir.
$$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi{x})$$
$$\frac{\partial}{\partial{s}}\:\pi\cot(\pi{s})=\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx$$
Türevi alırsak integralide çözmüş oluruz.
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\frac{\ln(x)\big(x^{s-1}+x^{-s}\big)}{(1-x)}\:dx=-\pi^2\csc^2(\pi{s})}}$$