İntegralimiz :
∫10ln(x)ln(ln(x))1+xdx
İntegrali buradaki eşitliğin kısmi türevi olarak yazabiliriz.Eşitlik :
Ξ(n,1)=∫10lnn(x)1+xdx=(−1)n(1−2−n)Γ(n+1)ζ(n+1)
lim
Türevi alıp n yerine 1 verelim.(A\to Glaisher-Kinkelin sabiti)
\color{#A00000}{\boxed{\lim\limits_{n\to1}\frac{\partial}{\partial{n}}\Xi(n,1)=\int_0^1\:\frac{\ln(x)\:\ln\big(\ln(x)\big)}{1+x}\:dx=\frac{\pi^2}{12}\Big(12\ln(A)-1-i\pi-\ln(4\pi)\Big)\\\approx-0.449043-2.58386i}}