$\int_0^1\:\ln\big(\ln\frac{1}{x}\big)\:dx$ integralini çözün

Question

$$\large\int_0^1\:\ln\Big(\ln\frac{1}{x}\Big)\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^1\:\ln\Big(\ln\frac{1}{x}\Big)\:dx$$
$\ln(\frac{1}{x})=\omega$ olacak şekilde değüişken değiştirelim.
$$-\int_\infty^0\:e^{-\omega}\:\ln\omega\:d\omega$$
$$\int_0^\infty\:e^{-\omega}\:\ln\omega\:d\omega$$
Bu integralin değeri $-\gamma$ dir.($\gamma$ euler-masheroni sabiti)Bunun ispatı için buraya bakılabilir.
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^1\:\ln\Big(\ln\frac{1}{x}\Big)\:dx=-\gamma}}$$