Topoloj- Süreklilik

Question

$\left( X,\tau _{D}\right)$ Hausdorff uzay ya da T₂ uzay ya da ayrılmış uzay,

$\left( Y,\tau \right)$  bir topolojik uzay olmak üzere;

$f_{:}\left( X,\tau _{D}\right) \rightarrow \left( Y,\tau \right) $ süreklidir ? Gösteriniz.

Comments

Soru tam olarak bu olmamali, olamaz. Örnek: Reel sayılar Hausdorff bir uzay. Soru bu haliyle dogru olsaydı kalkulus derslerinde sureklilik diye bir konu olmazdı.

---

Elimde ki soru bu ve başka hiç bir bilgi verilmemiş. Top. uzayında süreklilik kavramı ile çözmemi istiyor.

---

$ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ fonksiyonunu $ f(0) = 1$ ve $ f(x)=0 $ (eger $ x \neq 0$ ise) seklinde tanimlayalim. (Topolojiler standard topoloji). Bu surekli mi?

---

Yukarıda yazdığım mevcut soru, topoloji dersi hocamın ödev bıraktığı soru. ve işin içinden çıkamıyorum.

---

Belki $ f$ nin daha önce bahsedilen bir özelliği vardır, notlarinda biraz geriye gidebilirsin. Ya da belki soru tahtaya tam yazilmamistir. Belki $ f$'nin surekli olmasi hipotezin bir parcasidir ve kanitlanmasi gereken sey farklidir. 

Sakin ol :) sende sorun yok.

---

daha önce standart topolojiden aşikar topolojiye olan bir örnek çözmüş, onu anladım basit, lakin ayrık uzay üzerinde hiç durmamıştı. 

---

Farkindaysan $X$'den $Y$'ye giden bir tane fonksiyon olmak zorunda değil. Hatta $Y$ tek elemanlı değilse birden fazla fonksiyon vardır. O halde soru şu olmalı değil mi? Hausdorff  bir uzaydan tanımlı her fonksiyon süreklidir. 

Soru buysa bu doğru mu değil mi diye düşünürsün.

Matematik soruyu çözmenin yanında sorunun doğru halini de bulmayı gerektirir.

---

Tanım kümesi üzerindeki topoloji diskret (ayrık) topoloji ise fonksiyonun kuralı ne olursa olsun fonksiyon sürekli olur. Sorunuzda tanım kümesi üzerindeki topoloji ayrık topoloji olarak verilmiş olabilir mi? Bir kontrol edin isterseniz.