$(a,p^n)=1 \iff (a,p)=1$

Question

$p$ asal bir sayi ve $n \geq 1$ dogal sayi ise (*) kullanarak  $(a,p^n)=1 \iff (a,p)=1$ onermesini ispatlayiniz. $p$ asal olmazsa durum ne olur.

(*): $(a,b)=1 \iff ax+by=1  \text{ olacak sekilde $x,y \in \mathbb Z$ sayilari vardir.}$

Answer 1

$(\Rightarrow)$

$(a,p^n)=1 \Rightarrow ax+p^ny=1 (x,y \in \mathbb{Z}) \Rightarrow ax+pp^{n-1}y=1 (p^{n-1}y=z \in \mathbb{Z}) \Rightarrow ax+pz=1 \Rightarrow(a,p)=1$ elde edilir. 

$p$ asal olmasaydı $p$'nin asal çarpımlarının herhangi bir kombinasyonu ya da herhangi bir asal carpaninin $a$'yi bolebilme ihtimali dogacagi için bunu soyleyemezdik diye düşünüyorum.

Comments

Tersten gidersek: bir adet $z$ var. Peki bu $z$ sayısı $p^{n-1}y$ şeklinde olmak zorunda mı? (Tabi her  $n$ içşn ispatımız, elbet olmak zorunda değil.)

---

$(*)$ da bahsi geçtiği gibi böyle $x,y\in \mathbb{Z}$ sayiLari bulunabiliyor. $z$' nin de  tipinin cevabimdaki gibi seçilmesinin bir mahsuru var mi ? o.O

---

oyle bir $z$ tipi olmali zaten. Olmali da nasil? Gosterilmesi gereken o.  Bu arada $1-ax=pz$.

---

İspatın bir tarafı doğru, bir tarafı yanlış Sercan'ın dediği gibi.

Answer 2

$(a,p^n)=1$ ise $ax+p^ny=1$ olacak sekilde $x,y \in \mathbb Z$ elemalari vardir, yani $ax+p(p^{n-1}y)=1$ olacak sekilde $x,y \in \mathbb Z$ elemalari vardir, yani $(a,p)=1$ olur.

Eger $(a,p)=1$ ise $ax+py=1$ olacak sekilde $x,y \in \mathbb Z$ elemanlari vardir. Bu durumda $py=1-ax$ ve $(py)^n=(1-ax)^n=1-at$ olur. ($t \in \mathbb Z$). Yani $at+p^ny^n=1$ olur.