Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.3k kez görüntülendi

Eger $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$ ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x) = \infty$ ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)g(x) = L$ ise $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+f(x))^{g(x)}= e^L$ midir?

Lisans Matematik kategorisinde (24.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.3k kez görüntülendi

2 Cevaplar

6 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$t$ sayısı $[1,1+f(x)]$ aralığının içinde herhangi bir sayı olsun. (Burada $f(x)$ in pozitif değerlerle limit durumunda 0 a gittiğini kabul ederek bu aralığı yazdım. Negatif değerlerle $x \to \infty$ da 0 a gittiği durum için de aralık $[1+f(x),1]$ seçilip benzer işlemler yapılabilir.)

$\frac{1}{1+f(x)} \leq \frac{1}{t} \leq 1$ dir. 

Her tarafı $t$ ye göre verilen aralıkta integre edelim:   

$\int\limits_{1}^{1+f(x)}\frac{1}{1+f(x)}dt\leq \int\limits_{1}^{1+f(x)}\frac{1}{t}dt\leq \int\limits_{1}^{1+f(x)}1dt$

$\Rightarrow$  $\frac{f(x)}{1+f(x)}\leq \ln (1+f(x))\leq f(x)$   , yine her tarafın $e$ tabanlı exponansiyelini alalım:

$e^{\frac{f(x)}{1+f(x)}}\leq 1+f(x)\leq e^{f(x)}$  , ve yine her tarafın $g(x)$ sinci kuvvetini alalım ve $x \to \infty$  da limitini alalım:

$\Rightarrow$  $\left(e^{\frac{f(x)}{1+f(x)}}\right)^{g(x)}\leq \left(1+f(x)\right)^{g(x)}\leq \left(e^{f(x)}\right)^{g(x)}$...............(*)

Soruda verilen bilgilerden, 

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$  ,   $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x) \to \infty$  ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)g(x) \to L$  idi.

(*) da bu verilenler uygulandığında;

$\lim\limits_{x \to \infty}\left(e^{\frac{f(x)}{1+f(x)}}\right)^{g(x)} = e^L =  \lim\limits_{x \to \infty}\left(e^{f(x)}\right)^{g(x)}$ olur.

Sıkıştırma teoreminden;

$\lim\limits_{x \to \infty}\left(1+f(x)\right)^{g(x)} = e^L$ dir.


(470 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

$f$ pozitif alinmis. $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ gibi bir fonksiyon da olabilir.

O aman aralığı $[1,1+|f(x)|]$ mi seçmeliyim?

Bu ispata nasıl uygulanır, bi düşünmek lazım.

Yazılan her şey yalnızca $x\to\infty$ değil her $x\to a$ için (hatta tek taraflı limitlerde) de geçerlidir.

$\forall t>-1$ için $\frac t{1+t}\leq \ln (1+t)\leq t$ (ece çelik in integral ile gösterdiği gibi veya başka şekilde) görülür. 

$\lim_{x\to a}f(x)=0$ olduğundan, eninde sonunda, (yani $,\ a$ ya yeterince yaklaştığında) $f(x)>-1$ ve bunun sonucunda ($x,\ a$ ya yeterince yakın olduğunda) $\frac{f(x)}{1+f(x)}\leq \ln(1+f(x))\leq f(x)$ doğru olacaktır. $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$ iken sorun yok ama $-\infty$ ise eşitsizliklerden birinde (kolay bir) değişiklik gerekir.

Bir Not:

(Sonlara doğru) $\lim_{x\to a}e^{\frac{f(x)g(x)}{1+f(x)}}\leq \lim_{x\to a}(1+f(x))^{g(x)}\leq\lim_{x\to a}e^{f(x)g(x)}$

yazmak yerine:

" $e^{\frac{f(x)g(x)}{1+f(x)}}\leq (1+f(x))^{g(x)}\leq e^{f(x)g(x)}$ ve $\lim_{x\to a}e^{\frac{f(x)g(x)}{1+f(x)}}=e^L=\lim_{x\to a}e^{f(x)g(x)}$

den, Sıkıştırma Teoreminden, $\lim_{x\to a}(1+f(x))^{g(x)}=e^L$ elde edilir" dese daha doğru olur. Çünki $\lim_{x\to a}(1+f(x))^{g(x)}$ limitinin varolduğunu henüz bilmiyoruz, Sıkıştırma Teoremi onun varlığını ve  değerini söylüyor.


Teşekkürler hocam..

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$f(x)=\frac{1}{x}$ ve $g(x)=Lx$ diyelim.

$\lim\limits_{x\to\infty}\:f(x)\:g(x)=L$ dir.

$\lim\limits_{x\to\infty}\:(1+f(x))^{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\:(1+\frac{1}{x})^{Lx}=\lim\limits_{x\to\infty}\:{\big[(1+\frac{1}{x})^{x}}\big]^L=e^L$

(1.1k puan) tarafından 

Bu genel bir soru. Bu sartlar altindaki tum $f,g$'ler icin ispatlanmasi lazim. Ya da karsit bir onek verilmesi lazim.Verilen ornek dogrulugunun oldugu kisimdan.

Evet. bertan88 arkadaşımızın vermiş olduğu örnek iddiayı sadece destekliyor. Doğru ya da yanlış olduğunu göstermiyor.

19,699 soru
21,400 cevap
71,873 yorum
224,869 kullanıcı