$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$ ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x) = \infty$ ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)g(x) = L$ ise $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+f(x))^{g(x)}= e^L$ midir?

Question

Eger $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$ ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x) = \infty$ ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)g(x) = L$ ise $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}(1+f(x))^{g(x)}= e^L$ midir?

Answer 1

$t$ sayısı $[1,1+f(x)]$ aralığının içinde herhangi bir sayı olsun. (Burada $f(x)$ in pozitif değerlerle limit durumunda 0 a gittiğini kabul ederek bu aralığı yazdım. Negatif değerlerle $x \to \infty$ da 0 a gittiği durum için de aralık $[1+f(x),1]$ seçilip benzer işlemler yapılabilir.)

$\frac{1}{1+f(x)} \leq \frac{1}{t} \leq 1$ dir. 

Her tarafı $t$ ye göre verilen aralıkta integre edelim:   

$\int\limits_{1}^{1+f(x)}\frac{1}{1+f(x)}dt\leq \int\limits_{1}^{1+f(x)}\frac{1}{t}dt\leq \int\limits_{1}^{1+f(x)}1dt$

$\Rightarrow$  $\frac{f(x)}{1+f(x)}\leq \ln (1+f(x))\leq f(x)$   , yine her tarafın $e$ tabanlı exponansiyelini alalım:

$e^{\frac{f(x)}{1+f(x)}}\leq 1+f(x)\leq e^{f(x)}$  , ve yine her tarafın $g(x)$ sinci kuvvetini alalım ve $x \to \infty$  da limitini alalım:

$\Rightarrow$  $\left(e^{\frac{f(x)}{1+f(x)}}\right)^{g(x)}\leq \left(1+f(x)\right)^{g(x)}\leq \left(e^{f(x)}\right)^{g(x)}$...............(*)

Soruda verilen bilgilerden, 

$\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)=0$  ,   $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}g(x) \to \infty$  ve $\lim\limits_{x\rightarrow \infty}f(x)g(x) \to L$  idi.

(*) da bu verilenler uygulandığında;

$\lim\limits_{x \to \infty}\left(e^{\frac{f(x)}{1+f(x)}}\right)^{g(x)} = e^L =  \lim\limits_{x \to \infty}\left(e^{f(x)}\right)^{g(x)}$ olur.

Sıkıştırma teoreminden;

$\lim\limits_{x \to \infty}\left(1+f(x)\right)^{g(x)} = e^L$ dir.

Comments

$f$ pozitif alinmis. $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ gibi bir fonksiyon da olabilir.

---

O aman aralığı $[1,1+|f(x)|]$ mi seçmeliyim?

---

Bu ispata nasıl uygulanır, bi düşünmek lazım.

---

Yazılan her şey yalnızca $x\to\infty$ değil her $x\to a$ için (hatta tek taraflı limitlerde) de geçerlidir.

$\forall t>-1$ için $\frac t{1+t}\leq \ln (1+t)\leq t$ (ece çelik in integral ile gösterdiği gibi veya başka şekilde) görülür. 

$\lim_{x\to a}f(x)=0$ olduğundan, eninde sonunda, (yani $,\ a$ ya yeterince yaklaştığında) $f(x)>-1$ ve bunun sonucunda ($x,\ a$ ya yeterince yakın olduğunda) $\frac{f(x)}{1+f(x)}\leq \ln(1+f(x))\leq f(x)$ doğru olacaktır. $\lim_{x\to a}g(x)=+\infty$ iken sorun yok ama $-\infty$ ise eşitsizliklerden birinde (kolay bir) değişiklik gerekir.

Bir Not:

(Sonlara doğru) $\lim_{x\to a}e^{\frac{f(x)g(x)}{1+f(x)}}\leq \lim_{x\to a}(1+f(x))^{g(x)}\leq\lim_{x\to a}e^{f(x)g(x)}$

yazmak yerine:

" $e^{\frac{f(x)g(x)}{1+f(x)}}\leq (1+f(x))^{g(x)}\leq e^{f(x)g(x)}$ ve $\lim_{x\to a}e^{\frac{f(x)g(x)}{1+f(x)}}=e^L=\lim_{x\to a}e^{f(x)g(x)}$

den, Sıkıştırma Teoreminden, $\lim_{x\to a}(1+f(x))^{g(x)}=e^L$ elde edilir" dese daha doğru olur. Çünki $\lim_{x\to a}(1+f(x))^{g(x)}$ limitinin varolduğunu henüz bilmiyoruz, Sıkıştırma Teoremi onun varlığını ve  değerini söylüyor.

---

Teşekkürler hocam..

Answer 2

$f(x)=\frac{1}{x}$ ve $g(x)=Lx$ diyelim.

$\lim\limits_{x\to\infty}\:f(x)\:g(x)=L$ dir.

$\lim\limits_{x\to\infty}\:(1+f(x))^{g(x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\:(1+\frac{1}{x})^{Lx}=\lim\limits_{x\to\infty}\:{\big[(1+\frac{1}{x})^{x}}\big]^L=e^L$

Comments

Bu genel bir soru. Bu sartlar altindaki tum $f,g$'ler icin ispatlanmasi lazim. Ya da karsit bir onek verilmesi lazim.Verilen ornek dogrulugunun oldugu kisimdan.

---

Evet. bertan88 arkadaşımızın vermiş olduğu örnek iddiayı sadece destekliyor. Doğru ya da yanlış olduğunu göstermiyor.