Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
3.9k kez görüntülendi

$x$ ve $y$ gerçel kısımları pozitif olan karmaşık sayılar olmak üzere, Beta fonksiyonu, $$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$$ Gama fonksiyonu, $$\Gamma(x,y)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$$ olarak tanımlanır. Gösteriniz ki, bu iki ilginç fonksiyon arasında $$B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$ şeklinde bir ilişki vardır.

Akademik Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 3.9k kez görüntülendi

aynısını sormayı düşünüyodum 

Önce davranmışım :) Birazdan sizin sorduğunuz bir soruda bunu kullanacağım.

Buradaki çözüm işinize yarayacaktır.

Orada bu eşitlik kullanılıyor, ispatlanmıyor sanırım.

Linkteki en son integrale bir iki değişken değiştirmeyle aşağıdaki integralin bulunabilmesi lazım.(?)

$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt$

Ben bunu tanım olarak verdim zaten. Sorduğum şey, yukarıdaki şekilde tanımlanan iki integral değeri arasındaki bir ilişki.

aslında, bertanin sorunda var ama gerek yok onu çözmek için. ben tersten yürüdüm değişiklik olsun diye aynı işlemlerle. 

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

gamma fonksiyonununda, $t=r^2$ dönüşümü yaparak

$\Gamma \left( n\right) =2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r^{2n-1}dr$

ve beta fonksiyonunda, $t=sin^2\theta$ dönüşümü yaparak

$B\left( p,q\right) =2\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\sin ^{2p-1}\theta \cos ^{2q-1}\theta d\theta $,  ($p,q<0$)

gamma fonksiyonunda, $n=q+p$ yazıp, elde edilenleri çarparsak, 

$B\left( p,q\right) \Gamma \left( q+p\right)=4\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r^{2p+2q -1}dr\int _{0}^{\dfrac {\pi } {2}}\sin ^{2p-1}\theta \cos ^{2q-1}\theta d\theta $

ve bu aşamada, $x=rsin\theta$ ve $y=rcos\theta$ dönüşümleri yaparsak, sağdaki integralin sınır değerleri, $x/y=tan\theta$ dan, dolayı $0$ dan, $\infty $ a olduğu görülür. ayrıca, $dxdy=rdrd\theta$.

$4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left( x^{2}+y^{2}\right) }y^{2p-1}x^{2q-1}dxdy=\Gamma \left( q\right) \Gamma\left( p\right) $  olduğu görülür, ilk eşitliği kullanarak.


(621 puan) tarafından 

ayrıca, beta fonksiyonu, tanımın ve sorulan eşitlikte simetrik,

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,851 kullanıcı