Gama fonksiyonunun tanımı şöyledir :
$$\Gamma(x)=\int_0^\infty\:t^{x-1}\:e^{-t}\:dt$$
Gama fonksiyonunun $1$ noktasındaki türevini bulmaya çalışalım.
$$\frac{d}{dx}\Gamma(x)=\Gamma^{'}(x)=\int_0^\infty\:t^{x-1}\:e^{-t}\:\ln \,t\:dt$$
$$\Gamma^{'}(1)=\int_0^\infty\:e^{-t}\ln\,t\:dt$$
İntegralin değerini bulduk.Şimdi $\Gamma^{'}(1)$ değerini bulmaya çalışalım.
Digama foksiyonu için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
$$\psi(x)=\frac{\Gamma^{'}(x)}{\Gamma(x)}$$
$x$ yerine $1$ koyalım.
$$\psi(1)=\frac{\Gamma^{'}(1)}{\Gamma(1)}=\Gamma^{'}(1)$$
$\psi(1)=-\gamma$ olduğunu biliyoruz.($\gamma$ euler-mascheroni sabiti)
$$\large\color{#C00000}{\boxed{\int_0^\infty\:e^{-t}\ln\,t\:dt=-\gamma}}$$