$\int_0^\infty\:\frac{x\ln x}{e^x-1}\:dx$ integralini çözün

Question

$$\large\int_0^\infty\:\frac{x\ln x}{e^x-1}\:dx$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int_0^\infty\:\frac{x\ln{x}}{e^x-1}\:dx$$

İntegrali zeta ve gama fonksiyonlarının kısmi türevleri olarak yazabiliriz.Denklemin ispatı için buraya bakılabilir.

$$\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\:\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\:dx$$

$$\frac{\partial}{\partial{s}}\:\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\:\frac{x^{s-1}\ln{x}}{e^x-1}\:dx$$

$s$ yerine $2$ koyalım.

$$\lim\limits_{x\to2}\frac{\partial}{\partial{s}}\:\zeta(s)\Gamma(s)=\int_0^\infty\:\frac{x\ln{x}}{e^x-1}\:dx$$

Şimdi türevi alalım.

$$\lim\limits_{x\to2}\:\zeta^{'}(s)\Gamma(s)+\zeta(s)\Gamma^{'}(s)$$

$\Gamma^{'}(s)=\Gamma(s)\psi(s)$ eşitliğini kullanalım.Burada $\psi(x)$ digama fonksiyonu.

$$\zeta^{'}(2)\Gamma(2)+\zeta(2)\Gamma(2)\psi(2)$$

$\zeta^{'}(2)=-\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}$ , $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$ ve $\psi(2)=1-\gamma$ eşitliklerini kullanalım.($\gamma$ euler-mascheroni sabiti)

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\:\frac{x\ln{x}}{e^x-1}\:dx=-\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}+\frac{\pi^2(1-\gamma)}{6}\approx-0.242096}}$$