${\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx}$ eşitliğini ispatlayın

0 beğenilme 0 beğenilmeme
49 kez görüntülendi

${\zeta(s)}$ zeta fonksiyonu olmak üzere ;

$${\large\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx}$$

Eşitliğini ispatlayın.

25, Temmuz, 2015 Lisans Matematik kategorisinde bertan88 (1,114 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

İntegrali inceleyelim.

$${\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx}$$

${\frac{1}{e^x-1}}$ ifadesini taylor serisi ile açalım.

$${\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx}$$

Toplam sembolü ile integralin yerini değiştirelim.(Aşağıda açıklama var)

$${\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx}$$

${nx=\omega}$ şeklinde değişken değiştirelim.

$${\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\int_0^\infty e^{-\omega}\omega^{s-1}d\omega}$$

${\int_0^\infty e^{-\omega}\omega^{s-1}d\omega=\Gamma(s)}$ ve ${\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\zeta(s)}$ olduğuna göre yerine yazalım.

$${\zeta(s)\Gamma(s)}$$

O zaman integralimiz :

$${\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx=\zeta(s)\Gamma(s)}$$


$${\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\tag{Re(s)>1}}$$


Açıklama : Seri , ${\frac{1}{e^x-1}}$ ifadesinin taylor açılımı olduğundan yakınsaktır.Buraya bakılabilir.

25, Temmuz, 2015 bertan88 (1,114 puan) tarafından  cevaplandı
25, Temmuz, 2015 bertan88 tarafından seçilmiş
...