İntegrali inceleyelim.
$${\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx}$$
${\frac{1}{e^x-1}}$ ifadesini taylor serisi ile açalım.
$${\int_0^\infty\sum_{n=1}^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx}$$
Toplam sembolü ile integralin yerini değiştirelim.(Aşağıda açıklama var)
$${\sum_{n=1}^\infty\int_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}dx}$$
${nx=\omega}$ şeklinde değişken değiştirelim.
$${\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\int_0^\infty e^{-\omega}\omega^{s-1}d\omega}$$
${\int_0^\infty e^{-\omega}\omega^{s-1}d\omega=\Gamma(s)}$ ve ${\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\zeta(s)}$ olduğuna göre yerine yazalım.
$${\zeta(s)\Gamma(s)}$$
O zaman integralimiz :
$${\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx=\zeta(s)\Gamma(s)}$$
$${\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^x-1}dx\tag{Re(s)>1}}$$
Açıklama : Seri , ${\frac{1}{e^x-1}}$ ifadesinin taylor açılımı olduğundan yakınsaktır.Buraya bakılabilir.