İntegralimiz :
$$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^{x-a}+1}\:dx$$
$\frac{1}{e^{x-a}+1}$ ifadesini sonsuz toplam ile yazalım.
$$\int_0^\infty\:x^{s-1}\:\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{-n(x-a)}\:dx$$
Seri düzgün yakınsak olduğundan integral ile toplam sembolünün yerini değiştirebiliriz.
$$\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{na}\:\int_0^\infty\:x^{s-1}\:e^{-nx}\:dx$$
İntegralde gerekli değişken değiştirmeyi yaparak gama fonksiyonu ile yazabiliriz.
$$\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{na}\:\underbrace{\int_0^\infty\:x^{s-1}\:e^{-nx}\:dx}_{\large\:u=nx\:\to\:\frac{\Gamma(s)}{n^s}}$$
$$\sum_{n=1}^\infty\:(-1)^{n+1}\:e^{na}\:\frac{\Gamma(s)}{n^s}$$
Sadeleştirelim.
$$\Gamma(s)\sum_{n=1}^\infty\:\frac{(-1)^{n+1}\:e^{na}}{n^s}$$
$$-\Gamma(s)\sum_{n=1}^\infty\:\frac{(-e^a)^n}{n^s}$$
Polylogaritma fonksiyonunun tanımına göre :
$$\large\color{#A00000}{\boxed{\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^{x-a}+1}\:dx=-\Gamma(s)Li_s(-e^a)}}$$