Bir eşitsizlik sorusu

Question

$a_1c_1-{b_1}^2\geq 0$ ve $a_2c_2-{b_2}^2\geq 0$ ise, o zaman $(a_1+a_2)(c_1+c_2)-(b_1+b_2)^2\geq 0$ olur.

---

Nesin Matematik Köyü'nde yapılan 'The Gamma Function' isimli dersin içinden küçük bir alıntı.

---

Sondaki ifadeyi açarak bir sonuç elde edilemiyor kanımca. Biz ikinci dereceden formları (quadratic form) kullanarak bir çözüm getirdik.

Comments

Ben Cauchy-Schwarz kokusu alıyorum. Bir ara zamanım olunca düşüneyim. Kesin yapamam ama yine Cauchy-Schwarz'a inanıyorum.

---

zamaniniz olunca bi benimkini kontrol etsenize.

Answer 1

$(a_1c_2)(a_2c_1)\geq(b_1b_2)^2\geq0$. Simdi $a_1c_2,a_2c_1 \geq 0$ diyelim: Carpimi sabit pozitif islemlerin toplamini kucultmek icin yakin tutmamim lazim, yani $a_1c_2+a_2c_1\geq 2b_1b_2$. Bu da bize cevabi veriyor.

Verilen ifade: $(a_1c_1-b_1^2)+(a_2c_2-b_2^2)+(a_1c_2+a_2c_1-2b_1b_2) \geq 0+0+0=0$.

Answer 2

$(a_1+a_2)(c_1+c_2)\geq2(a_1c_1+a_2c_2)$ chebishev ile, eşitliğin sağ tarafının (b_1+b_2)^2 büyük olduğu açık

Answer 3

Ben bizim kullandığımız hoş çözümden bahsedeyim. $a_1>0$ olduğunu varsayabiliriz. $$a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2$$ ifadesi ikinci derecen (quadratic) bir form. $$a_1(a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2)=(a_1x+b_2y)^2+(a_1c_1-b_1^2)y^2$$ ifadesi her $x,y$ değeri için sıfırdan büyük, varsayım gereği tabii ki. $a_1>0$ olduğundan $$a_1x^2+2b_1xy+c_1y^2>0$$ eşitsizliğini elde ederiz. Aynı yöntemle $$a_2x^2+2b_2xy+c_2y^2>0$$ olduğunu da gösterebiliriz, demek ki  $$(a_1+a_2)x^2+2(b_1+b_2)xy+(c_1+c_2)y^2>0.$$ Diğer yandan bu da ikinci dereceden bir form ve her $x,y$ değeri için sıfırdan büyük. Demek ki bu formun diskriminantı pozitif olamaz! Yani $$4(b_1+b_2)^2-4(a_1+a_2)(c_1+c_2)\leq 0,$$ demek ki $$(a_1+a_2)(c_1+c_2)-(b_1+b_2)^2 \geq 0.$$