Question

$$\sum _{n=1}^{\infty }n\left( \dfrac {1} {2}\right) ^{n}$$ toplamını hesapla.

Answer 1

$\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x}$ oyleki $-1 < x < 1$, burdan $x$ icin turev alirsak

$\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ oyleki $-1 < x < 1$, burdan $x$ ile carparsak

$\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}$ oyleki $-1 < x < 1$

Simdi $x=\frac{1}{2}$ koyarsak cevap: $2$.

Comments

Aslında analizde sorulan bir soruydu, daha türev falan görmediğimiz için türev kullanmadan bir çözüm bulmam gerekiyor. Aslına bakarsanız 2 sonucuna sezgisel olarak vardım. Baya da yaklaştım. Yani öyle ki, ilk 2 terimin toplamı 1 iken sonraki tüm terimlerin toplamı da en fazla 1 oluyor. Ancak 3. terimden sonrasını bir türlü büyütemedim.

Bu toplamdan daha büyük bir toplamın 2'den küçük eşit olduğunu söyleyebilirsem, ki soruya uygun olarak aklıma gelen ilk sayı $\sum _{n=1}^{\infty }\left( \dfrac {1} {2}\right) ^{n} $.

Ne varki, bir türlü buna ulaşamadım.

---

hep 1 otleyip toplasan senin yazdigin seriyi.. o zaman normal toplam 1 yaptigi icin.. 1+1/2+1/4+... da 2 yapar. acik olmadiysa daha uzun yazarim.

---

Ama onları da n ile çarpıyoruz. Bir de neden hep 1 öteliyoruz ki?

---

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+... 

1/4+1/8+1/16+1/32+...

1/8+1/16+1/32+...

1/16+1/32+...

1/32+...

Bu sekilde toplamda basa n katsayisi geliyor.

---

Tamam şimdi de sorum şu, 2'ye yakınsadığını nasıl göstermiş oluyoruz? :)

---

birnci toplam 1, ikincisi 1/2, ucuncusu 1/4...

Bunlari toplayinca da 2 ediyor, ayni seri.

---

http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Proofs_without_words#note_2

adresinde (sayfanın ortalarında "Gabriel's Staircase= Cebrail 'in merdiveni" adıyla ) cevapta, analiz ile bulunan $ 0<r<1 $ için $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty nr^n=\frac r{(1-r)^2}$  formülünün, ilginç bir şekilde, geometrik olarak, elde edilişi var.

---

Tamam ayrıca kağıda yazıp düzenleyince sonuca ulaştım. Şöyle düzenledim ben de;
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + ... + \frac{n}{2^n}$ şeklinde oluyor. Ama buradaki ikinci terim olan $\frac{1}{2}$'yi $2$'ye böldüm ve elimde $2$ tane $\frac{1}{4}$ oldu. Daha sonra, terimleri de $\frac{1}{x}$ şeklinde parçalara böldüm. Her parçadan bir tane seçip yeni bir toplam oluşturdum. O toplamda aşağıdaki gibi oldu:

$(\frac{1}{2} + ... \frac{1}{2^n}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + ... \frac{1}{2^n}) + \frac{1}{4}(\frac{1}{2} + ... \frac{1}{2^n}) + ... + \frac{1}{2^n}(\frac{1}{2} + ... \frac{1}{2^n}) = 1 + \frac{1}{2^n} + ... + \frac{1}{2^n} = 1+1=2$

Yardımlarınız için çok teşekkür ederim.

Answer 2

$\frac{1}{2}+2.\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...=(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...)+(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...)+(\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...)+...$

şeklinde açarsak sonsuz sayıda seri elde ederiz bu serilerin toplamı:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...$ olur o da $2$ ye eşit olur.