kısmi türevli denklem, laplace denklemi

Question

Laplace denkleminin $0 < x < a, 0 < x < b$ dikdörtgenindeki ve 

$u_{x}\left( 0,y\right) =0$ , $u_{x}\left( a,y\right) =0$

$u\left( x,0\right) =0$  , $u_{x}\left( x,b\right) =g(x)$

başlangıç koşullarını sağlayan,  , $0\leq y < b$ ve $0\leq x < a$ aralığındaki 

denklemin çözümlerini bulun.

Answer 1

$$\nabla^2u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$ Burada $u(x,y)=X(x)Y(y)$ şeklinde "değişkenlerin ayrışımı" yöntemini uygulayalım. Bunu Laplace denkleminde yerine koyarsak, $$X''Y+XY''=0$$ alırız. Burada "üsler", "o" değişkene göre türev demektir ($x$ veya $y$). Buna göre sınır şartlarını da düzenlememiz gerekiyor: $$u_x(0,y)=X'(0)Y(y)=0\Rightarrow X'(0)=0 \\ u_x(a,y)=X'(a)Y(y)=0\Rightarrow X'(a)=0 \\ u(x,0)=X(x)Y(0)=0\Rightarrow Y(0)=0 \\ u_x(x,b)=X'(x)Y(b)=g(x)$$

Aşikâr olmayan $u\equiv 0$ çözümü dışındaki çözümleri arıyoruz. Zira bu zaten bir çözümdür, aramaya gerek yok bu çözümü. $u\not \equiv 0$ olduğundan Laplace denklemini $XY$'ye bölebiliriz; bölelim: $$\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0.$$ Bu denklemdeki iki toplam terimi ayrı ayrı $x$ ve $y$'nin fonksiyonlarıdır. Böyle iki fonksiyonun toplamı sâbit ise o hâlde iki terim ayrı ayrı sâbit olmalıdırlar. Bu sâbit bizde $0$'dır. O hâlde $\alpha$ keyfi bir sâbit olmak üzere, $$\begin{align} \frac{X''}{X}&=\alpha \\ \frac{Y''}{Y}&=-\alpha\end{align}$$ denklemleri elde edilir.

Bizim problemimize uygun olarak $\alpha=-k^2<0$ alalım. Bu durumda $$\begin{align} \frac{X''}{X}&=-k^2 \\ \frac{Y''}{Y}&=k^2\end{align}$$ denklemleri alınır ki çözümleri kolaydır: $$\begin{align}X(x)&=Ae^{+ikx}+Be^{-ikx}\\ Y(y)&=Ce^{+ky}+De^{-ky} \end{align}$$ Şimdi sınır koşullarını çalıştıralım: $$X'(x)=ik\left[Ae^{+ikx}-Be^{-ikx}\right]\Rightarrow A-B=0 \\ ik\left[Ae^{+ika}-Be^{-ika}\right]=0$$ $A=B$ kullanılırsa, $$\sin ka=0$$ bulunur. Bu ise $$ka=n\pi, \hspace{20px} n\in \mathbb Z$$ anlamına gelir. Böylece $X$ bulundu: $$X_n(x)=2A\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)$$ Diğerine dönelim: $C=-D$ olduğu görülür: $$Y_n(y)=2C\sinh \left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$  Bunların çarpımından $$u_n(x,y)=A_n\cos \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh \left(\frac{n\pi y}{a}\right)$$ elde edilir. Her $n$ için $u_n$ bir çözüm olduğundan bunların lineer bileşimi de bir çözümdür. Böylece $u$ fonksiyonu $$u(x,y)=\sum_n a_n u_n$$ şeklinde yazılır. Son hamlede $a_n$ katsayılarını bulacağız. Bunun için son sınır şartını kullanacağız. $$u_x(x,b)=-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)=-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)=g(x)$$ eşitliği elde edilir. $g(x)$ verilmiş bir fonksiyondur. Sol taraftaki toplam ise bildiğimiz, "sinüs açılımı"dır. Bu toplamdan $a_n$'yi çekmek için elde ettiğimiz son ifâdeyi $m$ indisli $\sin\left(\frac{m\pi x}{a}\right)$ fonksiyonuyla çarpıp $[0,a]$ arasında integre edersek ve $\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)$'in dik bir dizi oluşturduğunu hatırlarsak $$-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\frac{2}{a}\int_0^a\sin \left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\frac{2}{a}\int_0^ag(x)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx=\\-\sum_n a_n \frac{n\pi}{a}\sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)\delta_{nm}=-a_m \frac{m\pi}{a}\sinh \left(\frac{m\pi b}{a}\right)\\ \Rightarrow a_m=\frac{2}{m\pi \sinh \left(\frac{n\pi b}{a}\right)}\int_0^ag(x)\sin \left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx$$ şeklinde bulunur. Problem çözülmüştür.       

Comments

hocam şimdi bu son aşama için, fourier serilerini kullanırken, belirli bir aralıkta olması lazım $x$'in , ki öyle zaten, benim sorum aralığın verilmesinin sebebi bu mudur? başka bir sebebi var mı? eğer verilmeseydi, yani $-\infty  < x < \infty$ aralığında olsaydı, fourier serilerini kullanamazdık galiba? o zaman nasıl bir çözüm yolu izlenecekti? son olarak,  benim çalıştığım kitap bitiyor bu soru tipi ile devamı iyi bir kaynak varmı acaba önerebileceğin?

---

bir de $\alpha$ 'nin sıfıra eşit ve büyük olduğu durumlarda çelişki olduğu için sınır koşullarıyla, 0 dan küçük olduğu durum uygun oldu, demek doğru mudur?

---

O zaman da Fourier integrali şeklinde yazılacaktı. Yani, indisin kesikli değik, sürekli olacaktı. Daha açık olursak, eğer $x$ koordinatındaki sınır şartları uçarla $0$ olacak şekilde olmasaydı, o zaman $k=k_n=\frac{n\pi}{a}$ şeklinde belirmeyecekti. O zaman da belli bir $k$ için $u_k(x,y)$ çözümleriyle $$u(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}a(k)u_k(x,y)\,dk$$ bir nevî "lineer bileşimiyle" denklemin çözümünü oluşturabilecektik. Yine burada $a(k)$ katsayılarını bulmanız gerekcekti. benzer şeyleri yapacaktık aslında...

Hangi kitabı okuyorsunuz bilmiyorum. Ama bu soruyla biten bir kitap artık sizi bir yere taşıyamaz bence. Bu konuda birçok kitap adı söylemek mümkün (yazarları): Sobolev, Bisatdze, Vladimirov ve daha birçoğu...   

---

Matematiksel olarak $\alpha$'nın eksi/artı olması önemli değil aslında. Fiziksel gerçeklerle uyumlu olması için $X$ çözümünün periyodik çözüm vermesi lâzım, bu yüzden öyle seçtik.