A=[a11a12...a1ra21a22...a2r............ar1ar2...arr] r×r tipinde bir matris olsun.
a∗ij , aij nin eş çarpanı olmak üzere (i,j=1,2,...,r), det(A) nın değeri, A nın bir satırındaki (sütunundaki) her elemanın kendi eşçarpanı ile çarpımlarını toplayarak bulunur. Yani;
det(A)=r∑k=1(aik.a∗ik) veya det(A)=r∑k=1akj.a∗kj
(Eş çarpan tanımı : r-kare A matrisi verilsin. A nın i. satır ve j. sütunundaki elemanlar kaldırılırsa, geriye kalan (r−1)-kare matrisinin determinantına A nın ilk minörü denir ve |Mij| ile gösterilir. Buna aij nin minörü de denir. (−1)i+j|Mij| işaretli minörüne, aij nin eşçarpanı denir ve a∗ij ile gösterilir. )
A∗=[a∗11a∗21...a∗r1a∗12a∗22...a∗r2............a∗1ra∗2r...a∗rr]
(Teorem: Bir r-kare A matrisinin, bir satırındaki(sütunundaki) elemanların, A nın başka bir satırının(sütununun) bu elemanlara karşı gelen eşçarpanları ile çarpımlarının toplamı sıfırdır. (ispatlamam gerek biliyorum ama bunu soru olarak sorucam))
AA∗=(bij) olsun. A nın i ninci satırı şöyledir: (ai1,ai2,...,air)...........(1)
Aij kofaktörler matrisi olmak üzere, A∗ kofaktörler matrisinin transpozesi olduğundan, A∗ ın j ninci sütunu, A nın j ninci satırının kofaktörlerinin transpozesidir: (Aj1,Aj2,...,Ajr)t................(2)
Şimdi, AA∗ ın ij ninci elemanı bij (1) ve (2) ifadelerinin çarpılması ile elde edilir.
bij=ai1Aj1+ai2Aj2+...+airAjr , teoremden i≠j için bij=0 dır.
Dolayısıyla;
AA∗=[a11a12...a1ra21a22...a2r............ar1ar2...arr][a∗11a∗21...a∗r1a∗12a∗22...a∗r2............a∗1ra∗2r...a∗rr]=[det(A)0...00det(A)...0............00...det(A)]r×r=det(A)Ir×r
A∗A=det(A)Ir×r olduğu da benzer şekilde gösterilebilir.