Eslek matris: $AA^*=A^*A=\det(A)I$.

Question

$A=(a_{ij})$ elemanlari herhangi bir halkaya ait bir $r\times r$ matris olsun ve $A^*=(a_{ij}^*)$ da $A$ matrisinin eslek (adjoint) matrisi olsun. 

Gosteriniz: $AA^*=A^*A=\det(A)I$.

Burda $\det$ determimant ve $I$ matrisi $r \times r$ birim matris.

Comments

Bunu cevap olarak ekleyebilirdin. Bi yarisini da diger soruya ekleyebilirsin, tanimi ile ilgili olan.

---

Ekliyorum o zaman.

---

diger sorunun cevabindan sora bu cevaba da linkini eklersen guzel olur.

Answer 1

$A=\left[ \begin{array} aa_{11}&a_{12}&...&a_{1r}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2r}\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\a_{r1}&a_{r2}&...&a_{rr} \end{array} \right]$     $r \times r$ tipinde bir matris olsun.

$a_{ij}^{*}$ ,   $a_{ij}$ nin eş çarpanı olmak üzere ($i,j=1,2,...,r$),   $det(A)$  nın değeri,  $A$ nın bir satırındaki (sütunundaki) her elemanın kendi eşçarpanı ile çarpımlarını toplayarak bulunur. Yani;

$det(A)=\sum\limits_{k=1}^{r}(a_{ik}.a_{ik}^{*})$   veya   $det(A)=\sum\limits_{k=1}^{r}a_{kj}.a_{kj}^{*}$

(Eş çarpan tanımı :  $r$-kare $A$ matrisi verilsin. $A$ nın $i.$ satır ve $j.$ sütunundaki elemanlar kaldırılırsa, geriye kalan $(r-1)$-kare matrisinin determinantına $A$ nın ilk minörü denir ve $|M_{ij}|$ ile gösterilir. Buna $a_{ij}$ nin minörü de denir. $(-1)^{i+j}|M_{ij}|$ işaretli minörüne, $a_{ij}$ nin eşçarpanı denir ve $a_{ij}^{*}$ ile gösterilir. )

$A^*=\left[ \begin{array} aa_{11}^{*}&a_{21}^{*}&...&a_{r1}^{*}\\a_{12}^{*}&a_{22}^{*}&...&a_{r2}^{*}\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\a_{1r}^{*}&a_{2r}^{*}&...&a_{rr}^{*}\end{array} \right]$

(Teorem: Bir $r$-kare $A$ matrisinin, bir satırındaki(sütunundaki) elemanların, $A$ nın başka bir satırının(sütununun) bu elemanlara karşı gelen eşçarpanları ile çarpımlarının toplamı sıfırdır. (ispatlamam gerek biliyorum ama bunu soru olarak sorucam))

$AA^*=(b_{ij})$ olsun. $A$ nın $i$ ninci satırı şöyledir:  $(a_{i1},a_{i2},...,a_{ir})$...........(1)

$A_{ij}$ kofaktörler matrisi olmak üzere, $A^*$ kofaktörler matrisinin transpozesi olduğundan, $A^*$ ın $j$ ninci sütunu, $A$ nın $j$ ninci satırının kofaktörlerinin transpozesidir: $(A_{j1},A_{j2},...,A_{jr})^t$................(2)

Şimdi, $AA^*$ ın $ij$ ninci elemanı $b_{ij}$  (1) ve (2) ifadelerinin çarpılması ile elde edilir.

$b_{ij}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{ir}A_{jr}$ , teoremden $i\ne j$ için $b_{ij}=0$  dır.

Dolayısıyla;

$AA^*=\left[ \begin{array} aa_{11}&a_{12}&...&a_{1r}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2r}\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\a_{r1}&a_{r2}&...&a_{rr} \end{array} \right]\left[ \begin{array} aa_{11}^{*}&a_{21}^{*}&...&a_{r1}^{*}\\a_{12}^{*}&a_{22}^{*}&...&a_{r2}^{*}\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\a_{1r}^{*}&a_{2r}^{*}&...&a_{rr}^{*}\end{array} \right]=\left[ \begin{array} ddet(A)&0&...&0\\0&det(A)&...&0\\.&.&...&.\\.&.&...&.\\0&0&...&det(A)\end{array}\right]_{r \times r}=det(A) I_{r \times r}$

$A^*A=det(A) I_{r \times r}$  olduğu da benzer şekilde gösterilebilir.