$$\Large i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}$$
İfadesinin eşitini bulun.
Benim denemem :
$$i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}=a$$
$$i^a=a$$
Her iki tarafıda $\ln$ parantezine alalım.
$$a\ln(i)=\ln(a)$$
$$\frac{i\pi}{2}=\frac{\ln(a)}{a}$$
Devamına bir şey getiremedim.
Aşağıdaki işlem "tetration" olarak geçiyormuş.
$$^na=\underbrace{a^{a^{a^{.^{.^{a}}}}}}_n$$
Benim aradığımda böyleymiş :
$$\lim\limits_{n\to\infty}\:|^ni|\approx0.56755$$
Tetration'un açılımı ne peki? Aşağıdan başlayarak sırayla üs alarak mı gidiliyor?
Evet hocam , aşağıdan başlayarak $n$ kadar üs alma.
Maalesef öyle değilmiş! :) Tam tersi!! Üstten başlayarak alınıyor; tanım öyle.
(Alttan olsa iş kolay zâten, direkt üsler sırayla çarpılırdı)
Yukarıdan olunca da tümevarımla güzel bir kural bulmak mümkün değil.
Tetration için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
$$x^{x^{x^{x^{.^{.^.}}}}}=f(x)$$
$$f(x)=-\frac{W(-\ln(x))}{ln(x)}$$
Burda $W(x)$ Lambert W-fonksiyonu
Soruda bizden istenen :
$$f(i)=-\frac{W(-\ln(i))}{ln(i)}$$
$$-\frac{2i}{\pi}W(-\frac{1}{2}i\pi)$$
$$\large\color{red}{\boxed{i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}\approx0.438283+0.3605924i}}$$