Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
236 kez görüntülendi

$$\Large i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}$$

İfadesinin eşitini bulun.


Benim denemem :

$$i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}=a$$

$$i^a=a$$

Her iki tarafıda $\ln$ parantezine alalım.

$$a\ln(i)=\ln(a)$$

$$\frac{i\pi}{2}=\frac{\ln(a)}{a}$$

Devamına bir şey getiremedim.

Lisans Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 236 kez görüntülendi
$lni^{i^{a}}=lni^{a}$ bu işinize yarar mı 

Limit $0$'a gidiyor.Bunun bir işe yarayacağını düşünmüyorum ?

Aşağıdaki işlem "tetration" olarak geçiyormuş.

$$^na=\underbrace{a^{a^{a^{.^{.^{a}}}}}}_n$$

Benim aradığımda böyleymiş :

$$\lim\limits_{n\to\infty}\:|^ni|\approx0.56755$$

Tetration'un açılımı ne peki? Aşağıdan başlayarak sırayla üs alarak mı gidiliyor?

Evet hocam , aşağıdan başlayarak $n$ kadar üs alma.

Maalesef öyle değilmiş! :) Tam tersi!! Üstten başlayarak alınıyor; tanım öyle. 

(Alttan olsa iş kolay zâten, direkt üsler sırayla çarpılırdı) 

Yukarıdan olunca da tümevarımla güzel bir kural bulmak mümkün değil.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Tetration için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.

$$x^{x^{x^{x^{.^{.^.}}}}}=f(x)$$

$$f(x)=-\frac{W(-\ln(x))}{ln(x)}$$

Burda $W(x)$ Lambert W-fonksiyonu

Soruda bizden istenen :

$$f(i)=-\frac{W(-\ln(i))}{ln(i)}$$

$$-\frac{2i}{\pi}W(-\frac{1}{2}i\pi)$$

$$\large\color{red}{\boxed{i^{i^{i^{i^{.^{.^.}}}}}\approx0.438283+0.3605924i}}$$

(1.1k puan) tarafından 
19,204 soru
21,077 cevap
70,165 yorum
23,745 kullanıcı