${1-2+3-4+5-...=\frac{1}{4}}$ eşitliğini zeta fonksiyonu ile gösterin

Question

Zeta fonksiyonu ile :

$${\large 1-2+3-4+5-...=\frac{1}{4}}$$

Eşitliğini gösterin.

Comments

$1+(-2+3)+(-4+5)+...$ ben böyle toplamak istesem ? 

Mesela toplama özgürlüğünün olmadığını mı söylüyor bu soru bize ? 

Veya $(1-2)+(3-4)+(5-6) +...$ bu nasıl pozitif olsun ? 

Ben bu işi böyle toplasam yanlıs mı yapıyorum ? Merak ediyorum sadece yoksa bu toplam bukalemun gibi her renkten oynayan sonsuz bir seri mi?

---

Hocam aynen yukarıda yaptığınız gibi bu seri bukalemun gibi :)

Sayıları farklı farklı gruplandırdığınızda farklı değerler elde ediyorsunuz.

Özelliklede bu dizi :

$${1-1+1-1+1-...}$$

Farklı şekilde gruplandırarak ${1}$ , ${-1}$ , ${0}$ , ${2}$ ... gibi değerler elde edebilirsiniz.

Ama bu ve sorudaki seri sonsuz toplamın tanımına göre ıraksaktır.

---

Anlamadığım birşey daha madem ki seri  ıraksak nasıl yakınsatıyorlar =1/4 demek doğru olur mu  ? Doğru olursa eğer O halde şöylede bir soru sorsak nasıl olur "bu ıraksak seri kaç farklı değer alır" ?

---

Hocam buraya ve buraya bakabilirsiniz.

---

Hmm teşekkürler bilgilendirdignz içn

---

Wikipedia'dan Leonhard Euler'in yazısından $2$ alıntı :

"... $1-2+3-4+5-6+...$ serisi toplamının $\frac{1}{4}$ olduğu söylendiğinde, bunun bir paradoks olması gerekir. Çünkü serinin ilk $100$ terimini toplayınca $-50$ elde ederiz, ilk $101$ teriminin toplamı ise $\frac{1}{4}$'ten oldukça farklı olan $+51$'i verir ve toplanan terim sayısı arttıkça da büyür. Daha önceki çalışmalarımda da gördüm ki, toplam sözcüğüne daha genişletilmiş bir anlam kazandırmamız gerek..."

" ... $1 − 2 + 3 − 4 + 5 - 6 + ...$ serisi toplamının $\frac{1}{4}$ olduğuna artık şüphe yoktur çünkü seri, değerinin $\frac{1}{4}$ olduğu tartışılmaz olan $\frac{1}{(1+1)^2}$ formülünün açılımından kaynaklanmaktadır. Bu serinin, $\frac{1}{(1+x)^2}$ ifadesinin açılımı olan $1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+...$ genel serisine $x=1$ için eşit olduğunun göz önünde bulundurulması, konuyu daha iyi açıklamaktadır."

---

Evet güzel ifade ettinz hocm teşekkürler

Answer 1

Serinin terimlerini yazalım ve sonsuz toplam ile ifade edelim.

$${\frac{1}{1^{-1}}-\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}-\frac{1}{4^{-1}}+\frac{1}{5^{-1}}-...=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^{-1}}}$$

Bu seriyi dirichlet eta fonksiyonu ile yazabiliriz.

$${\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^{-1}}=\eta(-1)}$$

Dirichlet eta fonksiyonu ile zeta fonksiyonu arasındaki ilişki aşağıdaki gibidir.

$${(1-2^{1-s})\,\zeta(s)=\eta(s)}$$

${s}$ yerine ${-1}$ kolayım.

$${-3\,\zeta(-1)=\eta(-1)}$$

Zeta fonksiyonu için aşağıdaki eşitlik yazılabilir.Bunun ispatı için buraya bakılabilir.

$${\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}}$$

Buradaki ${B_n}$ , ${n.}$ bernoulli sayısı.

${n}$ yerine ${1}$ koyalım.

$${-3\,\zeta(-1)=\frac{3\,B_2}{2}}$$

${B_2}$ , ${\frac{1}{6}}$ dır.

$$\color{red}{\boxed{\large1-2+3-4+5-...=\eta(-1)=-3\,\zeta(-1)=\frac{1}{4}}}$$