Topoloji - Metrik Uzaylar

Question

X boştan farklı bir küme, ve (X,d) bir uzay olsun. d*(x,y)=d(x,y)+d(y,x) şeklinde tanımlanan d*:XxX->R fonksiyonu X üzerinde bir metrik olur mu cevabınızı kanıtlayınız.

$X$ boş olmayan bir küme ve $d$ bu küme üzerinde tanımlı bir metrik olsun. Bu metrik kullanılarak  $$d^*(x,y):=d(x,y)+d(y,x)$$ biçiminde tanımlanan $d^*$ fonksiyonu da $X$ üzerinde bir metrik tanımlar mı?

Comments

ipucu:

$d$ bir metrik ise, simetrik olmasi gerekli. Yani, $d(x,y) = d(y,x)$.

Answer 1

$d$, $X$'de metrik olduğuna göre $$(\forall x,y\in X)(d(x,y)=d(y,x))$$

önermesi doğrudur. O halde $d$, $X$'de metrik olmak üzere 

$$d^*(x,y):=d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$$

kuralı ile verilen

$$d^*:X^2\rightarrow \mathbb{R}$$

fonksiyonu $X$ kümesi üzerinde bir metrik olduğunu göstermek artık rutin.