Sonsuz Toplamda Siralamanin Onemi - 2

Question

Suradaki soruda $$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n}$$ toplaminda, siralamayi degistirip $$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{8n + 2} - \frac{1} {8n + 4} - \frac{1}{8n+6} - \frac{1}{8n+8})$$ yaparsak toplamin $\log 2$'den $\frac{3}{2}\log 2$'ye ciktigini goruyoruz. Peki burada $\log 2$'nin bir onemi var mi? Ne de olsa iki toplamda da karsimiza cikti. Cevap veriyorum: Hayir.

Simdi, $c \in \mathbb{R}$ herhangi bir gercel sayi olsun. Bu toplamdaki sayilarin yerini oyle bir degistirebilirim, bu toplami oyle bir siralayabilirim ki toplam $c$'ye esit olur. Gosteriniz.

(Ornegin, oyle bir siralama bulabilirim ki, bu siralamayla toplam $5$'e esit olur.)

Comments

Ek: Hatta toplamı, ıraksak, daha da özel olarak, $+\infty$ veya $-\infty$  de yapabiliriz.

---

Ama bu her işareti için doğru değil. Burada mutlak olarak dizi ıraksadığı için böyle bir sonuç bulabiliyoruz. Mesela terimlerin mutlak değerlerinin toplamı $5$ olsaydı, her $c$ için doğru olmazdı. Ama yine de şu soruyu sorabiliriz. Bu durumda hangi reel sayılar bulunabilir. Bir önceki durum, mutlak toplamların limitinden küçük her sayı elde edilebilir idi, bu durumda da $[-5,5]$ arası her sayı elde edilebilir mi?

Answer 1

Bu tür durumlar serinin şartlı yakınsamasından dolayı oluyor. Şartlı yakınsayan bir seri alıp bunu herhangi reel sayıya yakınsatalım. Serimiz şu olsun($\lim x_n=0$);
$$\mathcal U:=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} x_i$$ şartlı olduğundan ;

$$\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} |x_i|\to \infty$$ olur. Dolayısıyla $\mathcal U$'nun tüm terimleri aynı işaretli değil ve de aynı işaretli olan 2 farklı toplamın biri $-$ sonsuza öbürü $+$ sonsuza yakınsamalı(ispat için bkz:olmayana ergi)

Bunları şöyle tanımlayalım;(f ve g'nin ayrık olan tanım aralığının birleşimi dogal sayılara eş olsun.)
$$A=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} x_{f(i)}\to\infty\\B=\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N} x_{g(i)}\to -\infty$$

$\star$Dolayısıyla $A$'nın terimleri bir zaman sonra seçilen her reel sayıdan büyük olcaktır(B'nin de küçük).

diyelim yakınsamak istediğimiz reel sayı $h$ olsun ve pozitif olsun (negatifi için de aynı yöntem uygulanır.)

$\star$ mantığından dolayı sonlu sayıda $A$ elemanı $h$'yi aşar ve belli bir $T$ reel sayısına eşit olur. Sonra sonlu $B$ terimi daha eklenirse belli bir zaman sonra $h$'nin altına düşer. Bu yöntem devam ettirilir ve tümevarımın ve arşimet prensibi yardımı ile belli bir zaman sonra(n>N iken); belli bir eklenen terim sayısından sonra $\lim x_n=0$ olduğundan $h$'tan ancak $\epsilon$ kadar uzaklaşabiliriz ($\epsilon$herhangi pozitif reel sayı) ki bu da zaten $$\forall n>N\Rightarrow \epsilon>\left|\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N}^m x_{f(i)}+\displaystyle\sum_{i\in\mathbb N}^n x_{g(i)}-h \right|$$

demek.

Not:
$h$'ı bir üst ve bir alta giderek geçme stili yerine daha nasıl bir yöntem deneyebiliriz ve daha matematiksel nasıl gösteririz?